(Aritmética: Decomposição em fatores primos e divisibilidade) Seja n um número natural, n ≥ 1. Mostr.... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 114 Report

(Aritmética: Decomposição em fatores primos e divisibilidade)

Seja n um número natural, n ≥ 1. Mostre que

n ≡ 1 (mod 8) se e somente se 3n + 1 é divisível por 4, mas não é divisível por 8.

─────

Obs: Recomenda-se que a prova de uma proposição "se e somente se" seja feita em duas partes. Uma para provar a implicação direta, e a outra para provar a implicação recíproca.

Em continuação ao conteúdo abordado na tarefa https://brainly.com.br/tarefa/53259116

Proposta para leitura/estudo: Conjectura de Collatz.

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gabrielcguimaraes

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Partindo desde 3n + 1:

[tex]3n + 1[/tex] pode ser escrito como [tex]8q + 4[/tex], com [tex]q \in \mathbb{Z}[/tex], para representar a divisibilidade por 4 mas não por 8. Logo:

[tex]3n + 1 \equiv 8q + 4 \pmod 8\\3n + 1 \equiv 4 \pmod 8\\3n \equiv 3 \pmod 8\\3 \cdot 3n \equiv 3 \cdot 3 \pmod 8\\9n \equiv 9 \pmod 8\\n \equiv 1 \pmod 8[/tex]

━━━━━━━

Partindo desde n ≡ 1 (mod 8):

[tex]n \equiv 1 \pmod 8\\n = 8q + 1\\3n = 24q + 3\\3n + 1 = 24q + 4\\3n + 1 = 8 \cdot 3q + 4\\3n + 1 = 8k + 4[/tex]

E também:
[tex]3n + 1 = 4 \cdot 2k + 4\\3n + 1 = 4(2k + 1)[/tex]

Então 3n + 1 não é múltiplo de 8 e é múltiplo de 4, sempre que n ≡ 1 (mod 8).

[tex]\boxed {n \equiv 1 \pmod 8 \Leftrightarrow 4 \mid 3n + 1 \land 8\nmid 3n + 1 }[/tex]

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gabrielcguimaraes Duas dúvidas:
1 - Está correta a notação destacada no final?
2 - É necessário o caso "partindo de 3n + 1" ou o segundo caso (partindo desde a congruência dada) é suficiente para determinar a sentença?

Lukyo 1. A notação está perfeita. Logicamente formidável. 2: Sim, é necessário partir de um lado para chegar ao outro e também partir do outro para chegar ao primeiro. Assim que se demonstra uma equivalência lógica (se e somente se).

Lukyo Nem sempre a recíproca é verdadeira, por isso deve-se verificar os dois sentidos.

gabrielcguimaraes Nossa, formidável soa demais rsrsrsrs

AkiraTakashiAyumi fds quem apagou a minha resposta

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.​

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[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.