[Álgebra: Equações algébricas]
Resolva a equação em ℝ:
[tex](x-3)^6-(3-x)^x=0.[/tex]
─────
Obs.: Obrigatório garantir justificadamente que não há outras soluções além das que forem encontradas.
Dica: Transforme-a em uma equação na forma f(x)/g(x) = 1, e analise todos os casos possíveis nos quais esse quociente pode ser igual a 1. Mas antes, atenção para não efetuar divisão por zero.
Resolva a equação em ℝ:
[tex](x-3)^6-(3-x)^x=0.[/tex]
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Obs.: Obrigatório garantir justificadamente que não há outras soluções além das que forem encontradas.
Dica: Transforme-a em uma equação na forma f(x)/g(x) = 1, e analise todos os casos possíveis nos quais esse quociente pode ser igual a 1. Mas antes, atenção para não efetuar divisão por zero.
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Lista de comentários
S = {2, 3, 4, 6}
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Em uma equação algébrica exponencial é preciso utilizar as propriedades da potenciação:
- Produto de potência de mesma base: conserva a base e soma os expoentes
- Divisão de potência de mesma base: conserva a base e subtrai os expoentes
- Potência de potência de mesma base: conserva a base e multiplica os expoentes
- Divisão de potência de mesma base: conserva a base e multiplica os expoentes
No nosso caso
[tex](x-3)^6-(3-x)^x=0[/tex]
x = 3 é uma solução trivial, pois
[tex](3-3)^6-(3-3)^3=0\\\\0^6-0^3=0\\\\0-0=0\\ \\0=0[/tex]
Podemos inverter o sinal de (x - 3)⁶ sem prejuízos, pois o expoente é par.
[tex](-(x-3))^6-(3-x)^x=0\\\\(3-x)^6-(3-x)^x=0[/tex]
Dividindo a expressão toda por (x - 3)⁶
[tex](3-x)^6-(3-x)^x=0\:\:\:\: \div (3-x)^6\\\\\\\dfrac{(3-x)^6}{(3-x)^6} -\dfrac{(3-x)^x}{(3-x)^6} = \dfrac{0}{(3-x)^6} \\\\\\1-\dfrac{(3-x)^x}{(3-x)^6} =0\\\\\\1=\dfrac{(3-x)^x}{(3-x)^6} \:\:\: divis\~ao \:de\:pot\^encia ...\\\\ \\1 = (3-x)^{x-6}[/tex]
Mas 1 pode ser escrito como (3 - x)⁰
[tex](3-x)^0=(3-x)^{x-6}[/tex]
Se as bases são iguais os expoentes também são
x - 6 = 0
x = 6
Um cuidado a ser tomado é saber se o expoente x é par ou ímpar, pois interfere no sinal durante a exponenciação.
[tex]\left| x-3 \right|=1\\\\x-3 = 1\\\\x = 1 + 3\\\\\mathbf{x = 4}\\\\ou\\\\x - 3 = -1\\\\x = -1 + 3 \\\\\mathbf{x = 2}[/tex]
Saiba mais em
https://brainly.com.br/tarefa/138621
https://brainly.com.br/tarefa/45113441
Atropelei quando analisei apenas a possibilidade de ser expoente par e por ter deixado para trás a solução trivial.
Obrigado pela dica.
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Desenvolvendo:
[tex](x-3)^6-(3-x)^x=0\\(x-3)^6=(3-x)^x[/tex]
[tex][(-1)(3-x)]^6=(3-x)^x[/tex]
[tex](-1)^6(3-x)^6=(3-x)^x\\(3-x)^6=(3-x)^x[/tex]
De cara já podemos constatar que x = 6 é uma solução válida, pois temos uma igualdade de potências de mesma base, o que nos permite igualar os expoentes.
Além disso, também verificamos que x = 3 é uma solução válida, pois incorremos na igualdade 0 = 0.
Mas precisamos continuar analisando, pois a variável x faz parte da base da potência.
[tex]\frac{(3-x)^x}{(3-x)^6}=1[/tex]
Dispondo a equação dessa forma, precisamos cuidar para que x seja diferente de 3, para não incorrermos em uma divisão por zero. Nesse caso especial, temos que calcular quando [tex]|3-x|=1[/tex] . Isso porque:
Qualquer outro valor para [tex]|3-x|[/tex] não respeitará a igualdade.
Calculando:
[tex]|3-x|=1\\3-x=1\\x=2[/tex]
Pela definição da função módulo, também temos:
[tex]x-3=1\\x=4[/tex]
Resposta: x = {2,3,4,6}