MESTRES DO CÁLCULO!! :UM DESAFIO PARA VCS!! Seja y=f(x) uma função derivável definida implicitamente.... Pergunta de ideia deShaimoom

January 2020 1 140 Report

MESTRES DO CÁLCULO!! :UM DESAFIO PARA VCS!!
Seja y=f(x) uma função derivável definida implicitamente pela equação 3x²-4xy+y²=-16.Sabendo que y=f(x)>0,para todo x∈D(f),e que f admite uma reta r tangente ao seu gráfico no ponto P(x,y) paralela à reta 3y=x-5,determine:
a)O ponto P
b)a equação de r

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deividsilva784

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Como nós sabemos:

A derivada de uma função em um determinado ponto, nos fornecem a inclinação da reta tangente.

Então:

$m = \frac{dF(x)}{dx} = \frac{dy}{dx}$

Derivando a equação em relação a "x"

3x² -4xy +y² = -16

2.3x -4x'y + -4xy' +2y.y' = 0

$\\ 6x -4y -4x. \frac{dy}{dx} +2y. \frac{dy}{dx} = 0
 \\ 
 \\ -4x. \frac{dy}{dx} +2y. \frac{dy}{dx} = 4y-6x
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dx} ( 2y-4x) = 4y-6x
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dx} = \frac{4y-6x}{ 2y-4x} 
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dx} = \frac{2(2y-3x)}{ 2(y-2x)} 
 \\ 
 \\ \frac{dy}{dx} =\frac{2y-3x}{ y-2x}$

Como a equação da reta "r" é paralela a 3y = x-5

Ambas equações possuem a mesma inclinação.

Isolando "3" da equação. Teremos o valor de "m"

$\\ 3y = x-5
 \\ 
 \\ y = \frac{x}{3} - \frac{5}{3}$

Lembrando que, y = mx+b

$m = \frac{1}{3}$

Substituindo "m" por dy/dx

$\\ \frac{1}{3} = \frac{2y-3x}{y-2x} 
 \\ 
 \\ \left \{ {{2y-3x=1} \atop {y-2x=3}} \right.$

Resolvendo o sistema.

Isolaremos "y" na eq de baixo:

$\\ y-2x=3
 \\ 
 \\ y = 3+2x$

Substituindo y = 3+2x na primeira eq:

$\\ 2y-3x=1
 \\ 
 \\ 2(3+2x) -3x =1
 \\ 
 \\ 6+4x-3x=1
 \\ 
 \\ 6+x=1
 \\ 
 \\ x=-5
$

Então:
$\\ y = 3+2x
 \\ 
 \\ y = 3+2.(-5)
 \\ 
 \\ y = -7$

Logo,

$P(x,y) = ( -5 , - 7)$
-----------------------------------------

A equação da reta será:

$r: y- y_{o} = m(x- x_{o})$

Onde xo e yo é o ponto P(x,y)

$\\ y-( -7 ) = \frac{1}{3} (x-( -5))
 \\ 
 \\ y+7 = \frac{1}{3} (x+5)
 \\ 
 \\ y + 7 = \frac{x}{3} + \frac{5}{3} 
 \\ 
 \\ \frac{x}{3} -y +\frac{5}{3} - 7 = 0
 \\ 
 \\ \frac{x}{3} -y - \frac{16}{3} = 0
$

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shaimoom Obrigado camarada.muito bem explicado.

deividsilva784 Por nada. :-)

deividsilva784 Muito obrigado pela melhor resposta Shaimoom!

shaimoom Por nada .Mais do que merecido.Não pelo fato de ter sido a única resposta mas pela excelente explicação.Impecável.Obrigado mais uma vez por ter me ensinado.

deividsilva784 Por nada. Precisar só chamar. Tenha um ótimo dia, abçs!