Em um navio-petroleiro, um tanque sofreu uma ruptura e passou a derramar oleo que se espalhou em for.... Pergunta de ideia deShaimoom

January 2020 1 111 Report

Em um navio-petroleiro, um tanque sofreu uma ruptura e passou a derramar oleo que se espalhou em forma circular cujo raio cresce a uma taxa de 2 m/h. Determine a taxa de variacão da area do derramamento no instante em que o raio atingir 60m.

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Lukyo

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• $\large\textsf{Raio da mancha de \'oleo: r;}$

• $\large\textsf{\'Area da mancha de \'oleo: A.}$

$\large\begin{array}{l} \textsf{Devemos ter}\\\\ \mathsf{A=\pi r^2}\\\\ \textsf{(A \'e uma fun\c{c}\~ao de r)} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \textsf{Mas o raio r varia com o tempo:}\\\\ \mathsf{r=r(t)} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \textsf{Ent\~ao, derivando a express\~ao da \'area em rela\c{c}\~ao a t, temos}\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\dfrac{d}{dt}(\pi r^2)}\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\pi\dfrac{d}{dt}(r^2)}\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}=\pi\cdot 2r\cdot \dfrac{dr}{dt}\qquad(i)} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \textsf{Para }\\\\ \mathsf{r = 60~m~}\textsf{ e }\mathsf{~\dfrac{dr}{dt}=2~m/h,}\\\\ \textsf{temos ent\~ao que}\\\\\\ \mathsf{\dfrac{dA}{dt}\bigg|_ {r=60}=\pi \cdot 2\cdot (60~m)\cdot (2~m/h)}\\\\ \boxed{\begin{array}{c} \mathsf{\dfrac{dA}{dt}\bigg|_ {r=60}=240\pi~m^2/h} \end{array}} \end{array}$

$\large\begin{array}{l} \textsf{(esta \'e a taxa de varia\c{c}\~ao da \'area de derramamento no}\\\textsf{instante em que }\mathsf{r=60~m}\textsf{).}\\\\\\ \textsf{D\'uvidas? Comente.}\\\\\\ \textsf{Bons estudos! :-)} \end{array}$

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Lukyo Caso tenha problemas para visualizar a resposta, experimente abrir pelo navegador: http://brainly.com.br/tarefa/7321632