Veja, Nabouvier, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa. Antes vamos procurar caracterizar quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora.
i) Uma função é considerada sobrejetora quando o contradomínio é exatamente igual ao conjunto-imagem. Ou seja, todos os elementos do contradomínio (B) estão flechados por algum elemento do domínio (A). Neste tipo de função, como você já deverá ter notado, um único elemento do domínio (A) poderá estar flechando mais de um elemento do contradomínio (B).
ii) Uma função é considerada injetora quando o contradomínio é diferente do conjunto-imagem, ou seja, nem todos os elementos do contradomínio (B) estão flechados por algum elemento do domínio (A). E, além disso, para ser injetora só deverá haver um único elemento do domínio (A) que esteja flechando também um único elemento do contradomínio (B). Enquanto na sobrejetora (como vimos acima) um elemento do domínio A poderá flechar mais de um elemento do contradomínio B, na injetora o contradomínio poderá até mesmo ter elementos que não são flechados por elementos do domínio (A).
iii) E, finalmente, uma função é considerada bijetora, quando ela é sobrejetora e injetora simultaneamente.
iv) Bem, vistos esses rápidos prolegômenos, então vamos responder suas questões.
5) f: R --> R, tal que f(x) = 2x+1
Note que o domínio da função da 5ª questão são todos os reais (f: R ---> R). E note também que para qualquer que seja o valor real que você atribuir a "x" vai encontrar um f(x) diferente. Ou seja, cada elemento do domínio vai flechar um e somente um elemento no contradomínio, caracterizando que a função é sobrejetora (contradomínio = conjunto-imagem) e injetora (cada elemento do domínio vai flechar um e somente um elemento do contradomínio). Logo, a função f: R --> R, tal que f(x) = 2x + 1 será uma função
Bijetora <--- Esta é a resposta para a 5ª questão.
6) g: R ---> R₊, tal que: g(x) = 1 - x²
Note que a função da 6ª questão tem domínio nos Reais e contradomínio nos Reais não-negativos (g: R ---> R₊). Então note que o domínio serão todos os Reais que só flecharão elementos do contradomínio que forem não-negativos. Veja: se houver um elemento do domínio que faça com que, pela relação g(x) = 1-x², resulte num elemento negativo no contradomínio, então não vai valer, pois: por exemplo: para x = 2, iríamos ter, pela relação g(x) = 1-x², um resultado igual a "-3". Isto significa que o valor real de "x" igual a "2" não iria flechar ninguém do contradomínio, pois o contradomínio só iria aceitar números reais não-negativos. Então esta relação, na forma em que está proposta, não é uma função nem sobrejetora nem injetora e por via de consequência jamais poderia ser bijetora. Então a resposta para a 6ª questão será:
Não é sobrejetora nem injetora <--- Esta é a resposta para a 6ª questão.
7) p: R* ---> R*, tal que p(x) = 1/x.
Aqui está sendo informado que a função p(x) = 1/x tem domínio nos Reais não nulos (ou seja, não inclui o zero) e contradomínio também nos reais não nulos. Note que para cada valor real não nulo do domínio só haverá um e somente um elemento também não nulo no contradomínio. E isso vai caracterizar uma função injetora (cada elemento do domínio flechará um e somente um elemento do contradomínio). E, por outro lado, na forma proposta (p:R* --> R*), ou seja o "zero" não existe nem no domínio nem no contradomínio, então para cada valor de "x" vai existir um e somente um valor de p(x), significando dizer que o contradomínio será igual ao conjunto-imagem. Logo, na forma proposta, ela será sobrejetora (contradomínio = conjunto-imagem) e injetora (cada elemento do domínio flechará um e somente um elemento do contradomínio), o que caracteriza uma função:
Bijetora <--- Esta é a resposta para a 7ª questão. Observação: note que se fosse p: R* --> R, então a função seria apenas injetora, pois no contradomínio iriam ter todos os reais, inclusive o zero. E como o zero não seria flechado por nenhum elemento do domínio (pois o domínio não inclui o zero), então, por isso, ela seria injetora.
8) q: R --> R tal, tal que: q(x) = x³.
Note que aqui o domínio são todos os Reais e o contradomínio também serão todos os reais. E, como para cada elemento do domínio haverá um elemento diferente no contradomínio e, ainda, como o contradomínio será igual ao conjunto-imagem, então esta função será sobrejetora (contradomínio igual ao conjunto-imagem) e injetora (cada elemento do domínio flechará um e somente um elemento do contradomínio), então ela será:
Sendo a o domínio da função e b o contra-domínio, temos:
Injetora: os elementos de a estão ligados a um elemento de b.
Sobrejetora: os elementos de a estão ligados a todos os elementos de b.
Bijetora: é Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja: é ligado a um elemento de b e todos estão sendo correspondidos.
5- Para saber se é injetora olhando o gráfico, traçamos retas horizontais e elas devem tocar a reta apenas uma vez, como á uma função de primeiro grau não constante, nota-se que é injetora. Como a reta é infinita, todos os elementos são correspondidos, logo temos uma função Bijetora. BIJETORA
6- Agora temos uma função do segundo grau, logo, uma reta traçada na horizontal passará duas vezes pelo gráfico, pois se trata de uma parábola. Logo, não é injetora. Como a função de segundo grau se limita a certos valores no y, ou seja, tem ponto de máximo e ponto de mínimo, não é sobrejetora também, pois não inclui todos os valores. NDA
7- p(x) = 1/x, para termos esse valor, o valor que acompanha o x, ou seja, o coeficiente angular tem que ser 1/x². Esse tipo de função é um caso particular, é descrito, como x é inversamente proporcional a y, por uma hipérbole, ela tende a zero mas não o alcança. Indo direto ao ponto, essa função será injetora, pois a reta passará pelo gráfico uma vez, e será sobrejetora, pois contemplará valores negativos e positivos , a depender do valor de x. BIJETORA
8- De acordo com o gráfico, a reta passa apenas uma vez, logo, é injetora. Além disso ela é sobrejetora, pois contempla todos os elementos de x e todos os do y, basta substituir por valores positivos e negativos, já que o x³ possibilita o aparecimento de números negativos. BIJETORA
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Vamos lá.Veja, Nabouvier, que a resolução é simples, embora um pouquinho trabalhosa.
Antes vamos procurar caracterizar quando uma função é sobrejetora, injetora e bijetora.
i) Uma função é considerada sobrejetora quando o contradomínio é exatamente igual ao conjunto-imagem. Ou seja, todos os elementos do contradomínio (B) estão flechados por algum elemento do domínio (A). Neste tipo de função, como você já deverá ter notado, um único elemento do domínio (A) poderá estar flechando mais de um elemento do contradomínio (B).
ii) Uma função é considerada injetora quando o contradomínio é diferente do conjunto-imagem, ou seja, nem todos os elementos do contradomínio (B) estão flechados por algum elemento do domínio (A). E, além disso, para ser injetora só deverá haver um único elemento do domínio (A) que esteja flechando também um único elemento do contradomínio (B). Enquanto na sobrejetora (como vimos acima) um elemento do domínio A poderá flechar mais de um elemento do contradomínio B, na injetora o contradomínio poderá até mesmo ter elementos que não são flechados por elementos do domínio (A).
iii) E, finalmente, uma função é considerada bijetora, quando ela é sobrejetora e injetora simultaneamente.
iv) Bem, vistos esses rápidos prolegômenos, então vamos responder suas questões.
5) f: R --> R, tal que f(x) = 2x+1
Note que o domínio da função da 5ª questão são todos os reais (f: R ---> R).
E note também que para qualquer que seja o valor real que você atribuir a "x" vai encontrar um f(x) diferente. Ou seja, cada elemento do domínio vai flechar um e somente um elemento no contradomínio, caracterizando que a função é sobrejetora (contradomínio = conjunto-imagem) e injetora (cada elemento do domínio vai flechar um e somente um elemento do contradomínio).
Logo, a função f: R --> R, tal que f(x) = 2x + 1 será uma função
Bijetora <--- Esta é a resposta para a 5ª questão.
6) g: R ---> R₊, tal que: g(x) = 1 - x²
Note que a função da 6ª questão tem domínio nos Reais e contradomínio nos Reais não-negativos (g: R ---> R₊).
Então note que o domínio serão todos os Reais que só flecharão elementos do contradomínio que forem não-negativos. Veja: se houver um elemento do domínio que faça com que, pela relação g(x) = 1-x², resulte num elemento negativo no contradomínio, então não vai valer, pois: por exemplo: para x = 2, iríamos ter, pela relação g(x) = 1-x², um resultado igual a "-3". Isto significa que o valor real de "x" igual a "2" não iria flechar ninguém do contradomínio, pois o contradomínio só iria aceitar números reais não-negativos. Então esta relação, na forma em que está proposta, não é uma função nem sobrejetora nem injetora e por via de consequência jamais poderia ser bijetora.
Então a resposta para a 6ª questão será:
Não é sobrejetora nem injetora <--- Esta é a resposta para a 6ª questão.
7) p: R* ---> R*, tal que p(x) = 1/x.
Aqui está sendo informado que a função p(x) = 1/x tem domínio nos Reais não nulos (ou seja, não inclui o zero) e contradomínio também nos reais não nulos.
Note que para cada valor real não nulo do domínio só haverá um e somente um elemento também não nulo no contradomínio. E isso vai caracterizar uma função injetora (cada elemento do domínio flechará um e somente um elemento do contradomínio). E, por outro lado, na forma proposta (p:R* --> R*), ou seja o "zero" não existe nem no domínio nem no contradomínio, então para cada valor de "x" vai existir um e somente um valor de p(x), significando dizer que o contradomínio será igual ao conjunto-imagem. Logo, na forma proposta, ela será sobrejetora (contradomínio = conjunto-imagem) e injetora (cada elemento do domínio flechará um e somente um elemento do contradomínio), o que caracteriza uma função:
Bijetora <--- Esta é a resposta para a 7ª questão. Observação: note que se fosse p: R* --> R, então a função seria apenas injetora, pois no contradomínio iriam ter todos os reais, inclusive o zero. E como o zero não seria flechado por nenhum elemento do domínio (pois o domínio não inclui o zero), então, por isso, ela seria injetora.
8) q: R --> R tal, tal que: q(x) = x³.
Note que aqui o domínio são todos os Reais e o contradomínio também serão todos os reais. E, como para cada elemento do domínio haverá um elemento diferente no contradomínio e, ainda, como o contradomínio será igual ao conjunto-imagem, então esta função será sobrejetora (contradomínio igual ao conjunto-imagem) e injetora (cada elemento do domínio flechará um e somente um elemento do contradomínio), então ela será:
bijetora <--- Esta é a resposta para 8ª questão.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.
Primeiramente vamos aos conceitos:
Sendo a o domínio da função e b o contra-domínio, temos:
Injetora: os elementos de a estão ligados a um elemento de b.
Sobrejetora: os elementos de a estão ligados a todos os elementos de b.
Bijetora: é Injetora e Sobrejetora ao mesmo tempo, ou seja: é ligado a um elemento de b e todos estão sendo correspondidos.
5- Para saber se é injetora olhando o gráfico, traçamos retas horizontais e elas devem tocar a reta apenas uma vez, como á uma função de primeiro grau não constante, nota-se que é injetora. Como a reta é infinita, todos os elementos são correspondidos, logo temos uma função Bijetora.
BIJETORA
6- Agora temos uma função do segundo grau, logo, uma reta traçada na horizontal passará duas vezes pelo gráfico, pois se trata de uma parábola. Logo, não é injetora. Como a função de segundo grau se limita a certos valores no y, ou seja, tem ponto de máximo e ponto de mínimo, não é sobrejetora também, pois não inclui todos os valores.
NDA
7- p(x) = 1/x, para termos esse valor, o valor que acompanha o x, ou seja, o coeficiente angular tem que ser 1/x². Esse tipo de função é um caso particular, é descrito, como x é inversamente proporcional a y, por uma hipérbole, ela tende a zero mas não o alcança. Indo direto ao ponto, essa função será injetora, pois a reta passará pelo gráfico uma vez, e será sobrejetora, pois contemplará valores negativos e positivos , a depender do valor de x.
BIJETORA
8- De acordo com o gráfico, a reta passa apenas uma vez, logo, é injetora. Além disso ela é sobrejetora, pois contempla todos os elementos de x e todos os do y, basta substituir por valores positivos e negativos, já que o x³ possibilita o aparecimento de números negativos.
BIJETORA
Espero ter ajudado ;)