Resposta:

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Explicação passo a passo:

1. Após mover o hóspede do quarto Q_nQ

n

​

 para Q_{2n-1}Q

2n−1

​

:

Proposição:

Para todo nn natural, se o hóspede do quarto Q_nQ

n

​

 é movido para Q_{2n-1}Q

2n−1

​

, então todos os quartos de número par ficam vazios, e todos os quartos de número ímpar ficam ocupados, com exatamente um hóspede em cada um desses quartos.

Demonstração:

Quando movemos o hóspede do quarto Q_nQ

n

​

 para Q_{2n-1}Q

2n−1

​

, o novo número do quarto é 2n-12n−1. Agora, vamos analisar os quartos em termos de paridade:

Quartos de número par: Se um número é par, então pode ser escrito como 2k2k, onde kk é um número natural. Substituindo 2k2k por 2n-12n−1, temos:

2k = 2n-1 \implies 2k+1 = 2n.2k=2n−1⟹2k+1=2n.

Portanto, o novo quarto Q_{2n}Q

2n

​

 (número par) fica vazio.

Quartos de número ímpar: Se um número é ímpar, então pode ser escrito como 2l-12l−1, onde ll é um número natural. Substituindo 2l-12l−1 por 2n-12n−1, temos:

2l-1 = 2n-1.2l−1=2n−1.

Portanto, o quarto Q_{2n-1}Q

2n−1

​

 (número ímpar) fica ocupado.

Isso conclui a demonstração da proposição.

2. Após hospedar o passageiro P_{nm}P

nm

​

 no quarto de número 2^m \cdot (2n - 1)2

m

⋅(2n−1):

Proposição:

Para todo n, mn,m naturais, se o passageiro P_{nm}P

nm

​

 é hospedado no quarto de número 2^m \cdot (2n - 1)2

m

⋅(2n−1), então todos os quartos de número par ficam ocupados, com exatamente um passageiro em cada um desses quartos, e os quartos de número ímpar ficam com os antigos hóspedes, um em cada quarto.

Demonstração:

Considerando o quarto de número 2^m \cdot (2n - 1)2

m

⋅(2n−1):

Quartos de número par: Para qualquer número natural kk, podemos escrever 2k2k como 2^0 \cdot (2k)2

0

⋅(2k). Substituindo m = 0m=0 e n = kn=k, obtemos o quarto Q_{2k}Q

2k

​

, que fica ocupado com o passageiro P_{0k}P

0k

​

.

Quartos de número ímpar: Para qualquer número natural ll, podemos escrever 2l-12l−1 como 2^0 \cdot (2l - 1)2

0

⋅(2l−1). Substituindo m = 0m=0 e n = ln=l, obtemos o quarto Q_{2l-1}Q

2l−1

​

, que fica com o antigo hóspede.

Essa demonstração usa a sugestão fornecida na questão, onde todo número natural par pode ser escrito, de modo único, na forma 2^k \cdot (2l-1)2

k

⋅(2l−1), com k, lk,l naturais.

Isso conclui a demonstração da proposição.

1. Após passar o hóspede do quarto \(n\) para o quarto \(Q_{2n-1}\), para cada \(n\) pertencente aos Naturais, ocorre a seguinte distribuição nos quartos:

- Os quartos de número par ficam vazios: Isso ocorre porque, ao mover o hóspede do quarto \(n\) para o quarto \(Q_{2n-1}\), estamos essencialmente pulando um quarto, indo diretamente para o próximo quarto ímpar. Portanto, todos os quartos de número par entre \(Q_2\), \(Q_4\), \(Q_6\), ... ficam vazios, pois não há hóspedes sendo movidos para eles.

- Os quartos de número ímpar ficam ocupados, com exatamente um hóspede em cada um desses quartos: Ao mover o hóspede do quarto \(n\) para o quarto \(Q_{2n-1}\), estamos colocando um hóspede em um quarto ímpar. Como essa ação é repetida para cada \(n\) natural, todos os quartos de número ímpar entre \(Q_1\), \(Q_3\), \(Q_5\), ... ficam ocupados, com exatamente um hóspede em cada um desses quartos.

2. Após ser movido o hóspede do quarto \(Q_n\) para o quarto \(Q_{2n-1}\), para cada \(n\) pertencente aos Naturais, chegam os trens \(T_1\), \(T_2\), ..., \(T_h\), ... (em quantidade infinita), cada um deles com uma quantidade infinita de passageiros.

Ao hospedar o passageiro \(P_{nm}\) no quarto de número \(2^m \cdot (2n - 1)\), ocorre a seguinte distribuição nos quartos:

- Todos os quartos de número par ficam ocupados, com exatamente um passageiro em cada um desses quartos: Isso ocorre porque o número \(2^m \cdot (2n - 1)\) é sempre par, de acordo com a propriedade mencionada na sugestão. Portanto, ao hospedar o passageiro \(P_{nm}\) no quarto \(2^m \cdot (2n - 1)\), estamos colocando um passageiro em um quarto par. Essa ação é repetida para cada \(n\) natural e cada \(m\) natural, resultando em todos os quartos de número par ocupados, com exatamente um passageiro em cada um desses quartos.

- Os quartos de número ímpar ficam com os antigos hóspedes, um em cada quarto: Como mencionado anteriormente, ao mover o hóspede do quarto \(n\) para o quarto \(Q_{2n-1}\), estamos colocando um hóspede em um quarto ímpar. Portanto, os quartos de número ímpar entre \(Q_1\), \(Q_3\), \(Q_5\), ... já estão ocupados pelos antigos hóspedes. Ao hospedar os passageiros \(P_{nm}\) nos quartos de número \(2^m \cdot (2n - 1)\), não estamos afetando esses quartos, mantendo os antigos hóspedes em cada um deles.