O domínio da função [tex]f(x)=\frac{-5x-7}{-7x-13}$$[/tex] é todos os números reais, exceto [tex]x=-\frac{13}{7}$$[/tex], e o conjunto imagem é todos os números reais, exceto [tex]\frac{5}{7}$$[/tex].

Função composta

Para encontrar a composição de duas funções, substituímos x na função f(x) pela função g(x). Então, temos:

[tex]\[f(g(x)) = f\left(\frac{1}{x+2}\right) = \frac{3\left(\frac{1}{x+2}\right)-5}{\left(\frac{1}{x+2}\right)-7}\][/tex]

Simplificando, obtemos:

[tex]\[f(g(x)) = \frac{3 - 5(x+2)}{1 - 7(x+2)} = \frac{3 - 5x - 10}{1 - 7x - 14} = \frac{-5x - 7}{-7x - 13}\][/tex]

O domínio de uma função é o conjunto de todos os valores de entrada (ou seja, valores de x) para os quais a função está definida. Para a função dada:

[tex]$f(x)=\frac{-5x-7}{-7x-13}$$[/tex]

A função está indefinida quando o denominador é igual a zero. Portanto, precisamos encontrar o valor de x que faz -7x-13=0. Resolvendo para x, obtemos:

[tex]$x=-\frac{13}{7}$$[/tex]

Portanto, o domínio da função é todos os números reais, exceto:

[tex]$x=-\frac{13}{7}$$[/tex]

Vamos analisar o comportamento de f(x) à medida que x  se aproxima do infinito positivo e negativo:

À medida que x se aproxima do infinito positivo, tanto o numerador quanto o denominador têm o mesmo termo de grau x , então podemos olhar para a razão dos coeficientes principais:

[tex]\[\lim_{{x \to +\infty}} f(x) = \lim_{{x \to +\infty}} \frac{-5x - 7}{-7x - 13} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}\][/tex]

À medida que x  se aproxima do infinito negativo, a mesma análise se aplica:

[tex]\[\lim_{{x \to -\infty}} f(x) = \lim_{{x \to -\infty}} \frac{-5x - 7}{-7x - 13} = \frac{-5}{-7} = \frac{5}{7}\][/tex]

Portanto, o limite de f(x)  à medida que x se aproxima do infinito positivo ou negativo é [tex]\( \frac{5}{7} \)[/tex].

Isso significa que o conjunto imagem da função é todos os números reais, exceto [tex]\( \frac{5}{7} \)[/tex].

Saiba mais sobre Função composta:https://brainly.com.br/tarefa/20718727
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