Resolva a seguinte integral indefinida:.... Pergunta de ideia deKrikor

November 2019 1 171 Report

Resolva a seguinte integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle \int (e^{3t}\cdot e^{e^{t}})\cdot dt}$

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RennanCampelo Resolução da questão, vejamos:

Calcular a integral indefinida:

$\mathsf{\displaystyle\int~(e^{3t}~\cdot~e^{e^{t}})~dt}}$

Antes de mais nada, façamos uma simplificação nesta função, veja:

$\mathsf{\displaystyle\int~(e^{3t}~\cdot~e^{e^{t}})~dt}}=\mathsf{\displaystyle\int~(e^{e^{t}+3t}})~\mathsf{dt}}}$

Pronto, agora vamos fazer algumas substituições, observe:

u = e^{t} => du = e^{-t} dt

t = ln(u)

Veja:

$\mathsf{\displaystyle\int~(e^{e^{t}+3t}})~\mathsf{dt}}=\mathsf{\displaystyle\int~u^{2}e^{u}~du}}}$

Façamos a integração por partes, veja:

f = u² => f' = 2u;

g = e^{u} => g' = e^{u}

$\mathsf{\displaystyle\int~u^{2}e^{u}~du}}=\mathsf{u^{2}e^{u}-\displaystyle\int~2ue^{u}~du}}$

Vamos resolver a nova integral:

$\mathsf{\displaystyle\int~2ue^{u}~du}}\\\\\\\ \mathsf{2\displaystyle\int~ue^{u}~du}}}\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int~ue^{u}~du}}$

Façamos novamente a integração por partes:

f = u => f' = 1

g = e^{u} => g' = e^{u}

Veja:

$\mathsf{\displaystyle\int~ue^{u}-\displaystyle\int~e^{u}~du}}\\\\\\\ \mathsf{\displaystyle\int~e^{u}~du}}\\\\\\\ \mathsf{ue^{u}-e^{u}}}\\\\\\\ \mathsf{2ue^{u}-2e^{u}}\\\\\\\ \mathsf{u^{2}e^{u}-2ue^{u}+2e^{u}}}}}$

Substituindo u = e^{t}, teremos:

$\mathsf{u^{2}e^{u}-2ue^{u}+2e^{u}}}\\\\\\\ \mathsf{e^{e^{t}+2t}-2e^{e^{t+t}}}+\mathsf{2e^{e^{t}}}$

Simplificando, teremos:

$\mathsf{e^{e^{t}+2t}-2e^{e^{t+t}}+\mathsf{2e^{e^{t}}}}\\\\\\\ \Large\boxed{\boxed{\mathbf{(e^{2t}-2e^{t}+2)e^{e^{t}}}}}}}}}}}}$

Deste modo, podemos afirmar que:

$\mathsf{\displaystyle~\int~(e^{3t}\cdot e^{e^{t}})\cdot dt}}=\mathsf{(e^{2t}-2e^{t}+2)e^{e^{t}}}}}}+\mathsf{C}}}}$

Espero que te ajude (^.^)

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