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a) Analisemos a seguir o algarismo das unidades de [tex]7^n[/tex] :

[tex]7^1 = 7\\7^2 = 49\\7^3 = 343\\7^4 = 2401[/tex]

O algarismo das unidades de [tex]7^4[/tex], quando multiplicado por 7, será o mesmo que o algarismo de [tex]7^1[/tex], ou seja, reinicia o ciclo.

Somemos 17 às potências acima:

[tex]7 + 17 = 24\\49 + 17 = 66\\343 + 17 = 360\\2401 + 17 = 2418[/tex]

Claramente somente o terceiro é divisível por 5. Disso podemos concluir que somente os valores de [tex]n[/tex] que são os terceiros colocados no ciclo das unidades (ciclo de comprimento 4) geram múltiplos de 5. Essencialmente,

[tex]n = 4k + 3, \:k \in \mathbb{Z}[/tex]

Este é o único formato de [tex]n[/tex] que gera múltiplos de 5.

b) Do Pequeno Teorema de Fermat, temos que:

[tex]7^{10} \equiv 1 \pmod {11}[/tex]

E, consequentemente:

[tex](7^{10})^k \equiv 1^k \pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^{10k} \equiv 1 \pmod {11}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(i)\\\Longleftrightarrow 7^{10k} \cdot 7^2\equiv 1 \cdot 7^2 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^{10k + 2} \equiv 49\pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^{10k + 2} + 17 \equiv 49 + 17\pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^{10k + 2} + 17 \equiv 66\pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^{10k + 2} + 17 \equiv 0\pmod {11}\:\:\:\:\:\:(ii)[/tex]

Temos como condição suficiente [tex]n = 10k + 2, \:k \in \mathbb{Z}[/tex]. Porém, para adiantar a alínea c), demonstrarei que todo [tex]7^n + 17[/tex] múltiplo de 11 possui [tex]n[/tex] neste formato.

Suponha que

[tex]7^{10k + r} \equiv 1 \pmod {11}, \:r \in \mathbb{Z} \mid 0 \leq r < 10[/tex]

Logo, temos que:

[tex]7^{10k} \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^{10k} \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow (7^{10})^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow (49^5)^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow (5^5)^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow (25^2 \cdot 5)^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow (3^2 \cdot 5)^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow (9 \cdot 5)^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\[/tex]
[tex]\Longleftrightarrow 45^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow 1^k \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow 1 \cdot 7^r \equiv 1 \pmod {11}\\\Longleftrightarrow 7^r \equiv 1 \pmod {11}[/tex]

Vejamos quais potências de 7 menores que 10 são congruentes a 1, mod 11.

[tex]7^0 \equiv 1 \pmod{11}\\7^1 \equiv 7 \pmod{11}\\7^2 \equiv 5 \pmod{11}\\7^3 \equiv 2 \pmod{11}\\7^4 \equiv 3 \pmod{11}\\7^5 \equiv 10 \pmod{11}\\7^6 \equiv 4 \pmod{11}\\7^7 \equiv 6 \pmod{11}\\7^8 \equiv 9 \pmod{11}\\7^9 \equiv 8 \pmod{11}[/tex]

Portanto, [tex]r = 0[/tex]. Com essa informação, garantimos que toda potência de 7 deve possui expoente no formato [tex]10k[/tex] para ser congruente a 1, mod 11 [tex](i)[/tex], e, consequentemente, que [tex](ii)[/tex] contempla todos os [tex]7^n + 17[/tex] múltiplos de 11.

A condição única de [tex]n[/tex] é [tex]n = 10k + 2, \: k \in \mathbb{Z}[/tex].

c) Para [tex]7^n + 17[/tex] ser divisível por 5, [tex]n[/tex] deve ser do formato [tex]4k + 3[/tex] (ímpar). Para ser divisível por 11, [tex]n[/tex] deve ser do formato [tex]10k+2[/tex] (par). Como não existe número simultaneamente ímpar e par, não há [tex]n[/tex] que satisfaça as alíneas a) e b).