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Vamos lá.

Veja, Francisco, que a resolução parece simples. Vamos tentar fazer tudo passo a passo para um melhor entendimento.

i) Tem-se: seja uma função definida por p(x) = x³ + x² + x + 1. Mostre que para qualquer que seja o par ordenado (x, p(x)) seus termos (ou suas coordenadas) têm paridades diferentes.

ii) Note que aqui está informando isto: se tomarmos as coordenadadas (x; p(x)), iremos ver que a paridade de "x" é diferente da paridade de p(x). Por exemplo: se tomarmos "x" igual a "1", iremos ter que p(1) = 1³+1²+1+1 = 1+1+1+1 = 4. Note que o "1" é ímpar e p(1) é par. Se tomarmos x = 0,teremos que p(0) = 0³ + 0² + 0 + 1 = 1. Note que o "0" é par e p(0) é ímpar. Assim, sempre a abscissa "x" terá paridade diferente da ordenada p(x).

iii) Mas para ver isso com mais facilidade, vamos tomar a expressão dada, que é esta:

p(x) = x³ + x² + x + 1 ---- vamos colocar "x²" em evidência nos fatores "x³+x²". Assim, teremos:

p(x) = x²*(x+1) + x+1 ----- para ficar mais "parecido" vamos colocar o último "x+1" também entre parênteses, ficando assim:

p(x) = x²*(x+1) + (x+1) ---- agora vamos colocar (x+1) em evidência, ficando assim:

p(x) = (x+1)*(x²+1)

Agora note: em p(x) = (x+1)*(x²+1) se você tomar qualquer "x" par, vai encontrar o resultado ímpar dentro dos parênteses. Por exemplo: para x = 0, teremos dentro dos parênteses: p(0) = (0+1)*(0²+1) ----> P(0) = (1)*(1) = 1. Veja para a abscissa "x" par, encontramos que p(x) é ímpar. E se tomarmos qualquer "x'' ímpar vamos encontrar p(x) par. Por exemplo: para x = 1 vamos ter: p(1) = (1+1)*(1²+1) = (1+1)*(1+1) = (2)*(2) = 4. Como você viu, para a abscissa igual a "1' encontramos p(1) = 4. E como a multiplicação de par com par dá resultado par e como a multiplicação de ímpar com ímpar dá resultado ímpar, então está demonstrado que para qualquer que seja o par ordenado (x; p(x)) iremos sempre ter paridades diferentes.

É isso aí.

Deu pra entender bem?

OK?

Adjemir.