[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]
Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]n^2<2^n[/tex] para todo n natural, n > 4.
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Instruções: Seja claro e detalhado em sua demonstração. Respostas com passagens não justificadas não serão consideradas.
Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]n^2<2^n[/tex] para todo n natural, n > 4.
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✅ Após realizar a demonstração, concluímos que a proposição "n² < 2^n, para todo n natural, n > 4" de fato é verdadeira, isto é:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}\boxed{\boxed{\:\:\:\bf (k + 1)^{2} < 2^{k + 1}\:\:\Longrightarrow\:\:\textrm{Verdadeira}\:\:\:}}\end{gathered}$}[/tex]
Seja a proposição:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} < 2^{n},\:\:\forall n \in \mathbb{N},\:n > 4\end{gathered}$}[/tex]
Ora, se "n" pertence aos naturais e "n" é maior que "4", então podemos reescrever a proposição como:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n^{2} < 2^{n},\:\:\forall n \in \mathbb{N},\:n \geq 5\end{gathered}$}[/tex]
Para provar esta proposição pelo método de indução, devemos:
Seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} n = 5\end{gathered}$}[/tex]
Então, temos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}5^{2} & < 2^{5}\\5\cdot5 & < 2\cdot2 \cdot 2\cdot 2\cdot 2\\ 25 & < 32\end{aligned} $}[/tex]
Desta forma, percebemos que a base de indução de fato é verdadeira, ou seja:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(5)\:\:\Longrightarrow\textrm{Verdadeiro}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(K)\:\Longrightarrow\: k^{2} < 2^{k}\end{gathered}$}[/tex]
Admitindo que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(K)\:\:\Longrightarrow \:\textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Devemos provar que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(K + 1)\:\:\Longrightarrow\:\:\textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Então:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered}{\bf I}\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: (k + 1)^{2} < 2^{k + 1}\end{gathered}$}[/tex]
Para provarmos que "P(K + 1)" é verdadeira, devemos desenvolver algebricamente o primeiro membro da inequação "I", até chegarmos ao segundo membro, levando em consideração a hipótese de indução. Para isso, fazemos:
[tex]\Large \text {$\begin{aligned}(k + 1)^{2} & = k^{2} + 2k + 1\:\:\:\:(\textrm{se}\:1 < 5)\\& < k^{2} + (2k + 5)\:\:\:\:(\textrm{se}\:k \geq 5)\\& = k^{2} + (2k + k)\\& = k^{2} + 3k\\& = k^{2} + k\cdot3\:\:\:(\textrm{se}\:3 < 5)\\& < k^{2} + k\cdot 5\:\:\:(\textrm{se}\: k \geq5)\\& = k^{2} + k\cdot k\\& = k^{2} + k^{2}\\& = 2k^{2}\\& = k^{2}\cdot2\:\:\:(\textrm{se}\: k^{2} < 2^{k})\\& < 2^{k}\cdot 2\\& = 2^{k + 1}\end{aligned} $}[/tex]
Portanto, está provado que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} P(K + 1)\:\:\Longrightarrow \:\:\textrm{Verdadeira}\end{gathered}$}[/tex]
Uma vez que:
[tex]\Large\displaystyle\text{$\begin{gathered} (k + 1)^{2} < 2^{k + 1}\end{gathered}$}[/tex]
[tex]\LARGE\displaystyle\text{$\begin{gathered} \underline{\boxed{\boldsymbol{\:\:\:Bons \:estudos!!\:\:\:Boa\: sorte!!\:\:\:}}}\end{gathered}$}[/tex]
Saiba mais:
Com a definição do princípio da indução finita foi possível demonstrar que:
[tex]n^2 < 2^n;n\geq 5[/tex]
Princípio da Indução:
Suponha que exista uma dada declaração P(n) envolvendo o número natural n tal que a afirmação é verdadeira para n = 1, ou seja, P(1) é verdadeira.
Se a afirmação for verdadeira n = k, onde k é algum número natural, então a afirmação também é verdadeira para n = k+1, ou seja, a verdade de P(k) implica a verdade de P(k+1). Então, P(n) é verdadeiro para todos os números naturais n.
Primeiro considere n = 5 . Nesse caso [tex](5)^2 < 2^5[/tex] ou [tex]25 < 32[/tex]. Então a desigualdade vale para n = 5. A seguir, suponha que [tex]n^2 < 2^n[/tex] e [tex]n \geq 5[/tex]. Agora temos que provar que:
[tex](n+1)^2 < 2^{(n+1)}[/tex].
Observe:
[tex]\ (n + 1)^2&= n^2 + 2n + 1 \\\\& < n^2 + 4n + 5 \\\\&\leq n^2 + 4n + n &\text{,pois } n \geq 5 \\\\&= n^2 + 5n \\\\&\leq n^2 + (n)n &\text{,pois } n \geq 5 \\\\&= 2(n^2) \\\\& < 2(2^n) &\text{pela hipotese indutiva} \\\\&= 2^{n + 1}\end{align*}[/tex]
Saiba mais sobre Princípio da Indução Finita: https://brainly.com.br/tarefa/53697404