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De acordo com a explicação abaixo, podemos definir a sequência dada a partir da seguinte Lei de Formação por Recorrência:
[tex]\begin{cases}a_1=0\\\\a_n=10a_{n-1}+3\qquad se\;n\,f\!or\;par\\\\a_n=4a_{n-2}+1\qquad\;\, se\;n\,f\!or\;\acute{i}mpar\end{cases}[/tex]

Vamos entender o porquê?

Para começar, é interessante separar a sequência dada em 2 partes:

Termos para n ímpar  [tex]\longrightarrow[/tex]  0, 1, 5, 21, 85, ...

Termos para n par  [tex]\longrightarrow[/tex]  3, 13, 53, 213, 853, ...

Algo que facilmente identificamos, é que há uma relação direta entre estas duas sub-sequências: Os termos com n par são os termos de n ímpar com um 3 há frente, isto é, são 3 unidades maiores que o termo anterior multiplicado por 10.

De uma forma matemática, podemos dizer isto através da seguinte fórmula:  [tex]\boxed{\text{Para n par:}\qquad a_n=10\times a_{n-1}+3}[/tex]

Para verificar se podemos usar esta fórmula, vamos testá-la com os valores que conhecemos:

[tex]\text{Para n=2:}\\a_2=10\times a_{2-1}+3=10\times a_1+3=10\times0+3=0+3=3\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}[/tex]

[tex]\text{Para n=4:}\\a_4=10\times a_{4-1}+3=10\times a_3+3=10\times1+3=10+3=13\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}[/tex]

[tex]\text{Para n=6:}\\a_6=10\times a_{6-1}+3=10\times a_5+3=10\times5+3=50+3=53\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}[/tex]

[tex]\text{Para n=8:}\\a_8=10\times a_{8-1}+3=10\times a_7+3=10\times21+3=210+3=213\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}[/tex]

[tex]\text{Para n=10:}\\a_{10}=10\times a_{10-1}+3=10\times a_9+3=10\times85+3=850+3=853\;\;\checkmark[/tex]

Desta forma, já temos parte da nossa sequência definida, mas ainda precisamos de definir uma fórmula que nos dê os termos para valores ímpares de n.

Olhemos, então, de novo para esta parte da sequência:

Termos para n ímpar  [tex]\longrightarrow[/tex]  0, 1, 5, 21, 85, ...

Existe um padrão interno nesta sequência: Cada termo é apenas 1 unidade maior que o quadrápulo do anterior.

No entanto, e como existe um termo com n par entre cada um destes valores, a distância entre eles é, na verdade, de dois termos, e não de apenas um.

Podemos dizer isto, matematicamente, da seguinte forma:  [tex]\boxed{\text{Para n impar:}\qquad a_n=4\times a_{n-2}+1}[/tex]

Vamos, então, provar que podemos usar esta generalização:

[tex]\text{Para n=3:}\\a_3=4\times a_{3-2}+1=4\times a_1+1=4\times0+1=0+1=1\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}[/tex]

[tex]\text{Para n=5:}\\a_5=4\times a_{5-2}+1=4\times a_3+1=4\times1+1=4+1=5\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad}[/tex]

[tex]\text{Para n=7:}\\a_7=4\times a_{7-2}+1=4\times a_5+1=4\times5+1=20+1=21\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad}[/tex]

[tex]\text{Para n=9:}\\a_9=4\times a_{9-2}+1=4\times a_7+1=4\times21+1=84+1=85\;\;\checkmark\\\underline{\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\quad\;\;}[/tex]

Uma nota importante é que não podemos definir o primeiro termo por recorrência, uma vez que não existe nenhum termo anterior a este.

Desta forma, teremos de indicar que  [tex]a_1=0[/tex]

Podemos dizer então, que a sequência  [tex](a_n)=(0,\;3,\;1,\;13,\;5,\;53,\;21,\;213,\;85,\;853,\;...)[/tex] pode ser definida pela seguinte lei de formação:

[tex]\begin{cases}a_1=0\\\\a_n=10a_{n-1}+3\qquad se\;n\,f\!or\;par\\\\a_n=4a_{n-2}+1\qquad\;\, se\;n\,f\!or\;\acute{i}mpar\end{cases}[/tex]

Podes ver mais exercícios sobre Sequências por Recorrência em:

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