(Aritmética – Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita)
Sejam [tex]x,\,y\in\mathbb{R}.[/tex] Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que
[tex]\begin{array}{l} x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +xy^{n-2}+y^{n-1})\\\\ \displaystyle =(x-y)\sum_{k=1}^n x^{n-k}y^{k-1}\end{array}[/tex]
para todo [tex]n\in\mathbb{N}^*.[/tex]
Sejam [tex]x,\,y\in\mathbb{R}.[/tex] Utilizando o Princípio da Indução Finita, mostre que
[tex]\begin{array}{l} x^n-y^n=(x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}y+\cdots +xy^{n-2}+y^{n-1})\\\\ \displaystyle =(x-y)\sum_{k=1}^n x^{n-k}y^{k-1}\end{array}[/tex]
para todo [tex]n\in\mathbb{N}^*.[/tex]
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Verifiquemos se a proposição é válida com [tex]n = 1[/tex] :
[tex]x^1 - y^1 = (x-y) \sum\limits_{k=1}^{1} x^{1-k}y^{k-1}\\\\x - y = (x-y) x^0y^0\\x-y = x-y[/tex]
[tex]p(1)[/tex] é válida.
Hipótese de indução: supor que dado um [tex]m \geq 1[/tex] inteiro qualquer, vale [tex]p(m)[/tex] :
[tex]x^m - y^m = (x-y) \sum\limits_{k=1}^{m} x^{m-k}y^{k-1}[/tex]
Passo indutivo: demonstrar que é válido também para [tex]p(m+1)[/tex] :
[tex](x-y) \sum\limits_{k=1}^{m+1} x^{m+1-k}y^{k-1}\\\\\\= (x-y) (\sum\limits_{k=1}^{m} x^{m+1-k}y^{k-1} + x^{m+1 - (m+1)}y^{(m+1) - 1})\\\\\\= (x-y) (\sum\limits_{k=1}^{m} x \cdot x^{m-k}y^{k-1} + y^m)\\\\\\= (x-y)(x(\sum\limits_{k=1}^{m} x^{m-k}y^{k-1}) + y^m)\\\\\\= x (x-y) (\sum\limits_{k=1}^{m} x^{m-k}y^{k-1}) + (x-y) \cdot y^m[/tex]
Que, pela hipótese, nos é permitido substituir uma porção da expressão acima:
[tex]= x (x^m - y^m) + (x-y) \cdot y^m\\= x^{m+1} - xy^m + xy^m - y^{m+1}\\= x^{m+1} - y^{m+1}[/tex]
Expressão que está no formato desejado.
Como [tex]p(1)[/tex] é válido e [tex]p(m) \Longrightarrow p(m+1)[/tex], se pode afirmar que a proposição é válida para todo número natural.