(Aritmética: Números primos – máximo divisor comum)
Sejam n, p naturais. Mostre que
se p é primo, então mdc(n, p − n) = 1.
para todo [tex]n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}.[/tex]
Sejam n, p naturais. Mostre que
se p é primo, então mdc(n, p − n) = 1.
para todo [tex]n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}.[/tex]
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Digamos que [tex]n[/tex] e [tex]p-n[/tex] têm um divisor em comum, [tex]d[/tex]. Desse modo:
[tex]n = xd\\p -n = yd\\\\p - xd = yd\\p = yx + xd\\p = d (y + x)[/tex]
Como [tex]p[/tex] é primo, [tex]d = 1[/tex] ou [tex]d=p[/tex]. Porém temos também que:
[tex]d \leq min(n,\: p-n) < p[/tex]
Restando unicamente [tex]d = 1[/tex], demonstrando a sentença original.