Seja f a função dada por: [tex]f(x)=\dfrac{\sinh(x)-e^{-x}}{\cosh^2(x)}[/tex]
Determine a primitiva desta função.
Nota: Caso necessário, use a Fórmula de Redução: [tex]\displaystyle\int{\!\!\dfrac{1}{(au^2+b)^n}}\;du\;=\;\dfrac{2n-3}{2b(n-1)}\int{\!\!\dfrac{1}{(au^2+b)^{n-1}}}\;du+\dfrac{u}{2b(n-1)(au^2+b)^{n-1}}[/tex]
Determine a primitiva desta função.
Nota: Caso necessário, use a Fórmula de Redução: [tex]\displaystyle\int{\!\!\dfrac{1}{(au^2+b)^n}}\;du\;=\;\dfrac{2n-3}{2b(n-1)}\int{\!\!\dfrac{1}{(au^2+b)^{n-1}}}\;du+\dfrac{u}{2b(n-1)(au^2+b)^{n-1}}[/tex]
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✅ A primitiva da função [tex]\rm f[/tex] é a família de funções do tipo [tex]\rm F(x)=-2[sech(x)+\arctan(e^x)]+\mathbb{C}[/tex]
☁️ Funções trigonométricas hiperbólicas: Partindo da trigonometria circular, define-se [tex]\rm\sin(x)[/tex] e [tex]\rm\cos(x)[/tex] como ordenada e abscissa, respectivamente, de um ponto [ [tex]\rm P(\cos(x);\sin(x))[/tex] ] pertencente ao bordo do círculo unitário [tex]\rm x^2+y^2=1 [/tex]. Por isso, convém e é útil utilizar tais funções para parametrizar uma circunferência.
Nesse sentido, surge a necessidade de parametrizar a hipérbole
[tex]\Large\underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad \dfrac{x^2}{a^2}-\dfrac{y^2}{b^2}=1~,~(a,b)>0 \qquad}}}[/tex]
Para tanto, bem como na trigonometria circular, é necessário definir duas funções e evidenciar a nova trigonometria hiperbólica, tais funções são:
[tex]\Large\underline{\boxed{\boxed{\qquad\begin{array}{lr}\rm \cosh(x)=\dfrac{e^x+e^{-x}}{2}\\\\\rm\sinh(x)=\dfrac{e^x-e^{-x}}{2}\end{array}\qquad}}}[/tex]
Por fim, gerando a parametrização ( a alternância de sinais permite capturar os dois ramos da hipérbole )
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm\begin{cases}\rm x=\pm a\cosh(t)\\\rm y=\pm b\sinh(t)\end{cases} \qquad\forall\:t\in\mathbb{R}\end{array} [/tex]
Admitindo a parametrização, é visível que os pontos continuam a satisfazer a equação da hipérbole, haja vista que admitindo [tex] \rm a = b = 1 [/tex], resulta na identidade fundamental
[tex]\large\begin{array}{lr}\rm\cosh^2(t)-\sinh^2(t) = 1\end{array}[/tex]
ℹ️ Há uma teoria robusta para a trigonometria hiperbólica que se assemelha bastante à trigonometria circular e por vezes chega a ser uma extensão natural. Usando esse fato, irei pular etapas e apresentar a definição de [tex]\rm sech(x)[/tex]
[tex]\Large\underline{\boxed{\boxed{\rm\qquad sech(x)=\dfrac{2}{e^x+e^{-x}}=\dfrac{1}{\cosh(x)} \qquad}}}[/tex]
✍️ Solução: Vamos quebrar a integral via linearidade e utilizar a definição acima
[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\int\dfrac{\sinh(x)-e^{-x}}{\cosh^2(x)}\,dx=\underbrace{\rm\int\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\,dx}_{\star}-\overbrace{\rm\int sech^2(x)e^{-x}\,dx}^{\star\star} \end{array} [/tex]
❐ Resolvendo [tex]\star[/tex] por uma substituição simples,
[tex] \large\begin{array}{lr}\rm N=\cosh(x) \Leftrightarrow dN=\sinh(x)dx\end{array} [/tex]
obteremos:
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm\int\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\,dx &=\displaystyle\rm\int\dfrac{dN}{N^2} \\\\&=\displaystyle\rm -\frac{1}{N}\end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\rm\therefore\: \displaystyle\rm\int\dfrac{\sinh(x)}{\cosh^2(x)}\,dx = -sech(x) + \mathbb{C}_1 }}}\end{array} [/tex]
❐ Para resolver [tex] \rm \star\star [/tex], é necessário observar que uma substituição trigonométrica estará envolvida no desenvolvimento devido a definição de [tex] \rm sech(x) [/tex]
[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\int sech^2(x)e^{-x}\,dx = \int\left[\frac{2}{e^x + e^{-x}}\right]^2 e^{-x}\,dx \end{array} [/tex]
❐ Para resolver aquele problema do [tex] \rm e^{-x} [/tex] multiplicando, é útil multiplicar numerador e denominador por [tex] \rm e^{x} [/tex]
[tex]\large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm\int\left[\frac{2}{e^x + e^{-x}}\cdot\frac{e^x}{e^x}\right]^2 e^{-x}\,dx = \int\left[\frac{2e^{x}}{e^{2x} + 1}\right]^2e^{-x}\,dx = \int\frac{4e^{x}}{(e^{2x} + 1)^2 }\,dx \end{array}[/tex]
❐ Fazendo a substituição [tex] \rm N = e^x \Leftrightarrow dN = e^xdx [/tex] e aplicando a expressão de redução proposta, obteremos
[tex] \large\begin{array}{lr}\displaystyle\rm4\int\frac{dN}{(N^2 + 1)^2} = 2\int\frac{dN}{N^2 + 1} + \frac{2N}{N^2 + 1} \end{array} [/tex]
❐ A integral que resta é elementar, porém, realizando a substituição trigonométrica [tex] \rm N = \tan(\phi) \Leftrightarrow dN = \sec^2(\phi)d\phi [/tex]
[tex] \large\begin{array}{lr}\begin{aligned}\displaystyle\rm 2\int\frac{dN}{N^2 + 1} + \frac{2N}{N^2 + 1} &=\displaystyle\rm 2\int\dfrac{\cancel{\sec^2(\phi)}}{\cancel{\tan^2(\phi) + 1}}\,d\phi + \frac{2N}{N^2 + 1} \\\\&=\displaystyle\rm 2\int\,d\phi + \frac{2N}{N^2 + 1} \\\\&=\displaystyle\rm 2\phi +\frac{2N}{N^2 + 1}\\\\&=\rm 2\arctan(e^x) + \frac{2e^x}{e^{2x} + 1} \end{aligned}\\\\\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm\therefore\: \int\frac{4e^x}{(e^{2x} + 1)^2}\,dx = 2\arctan(e^x) + sech(x) + \mathbb{C}_2 }}}\end{array} [/tex]
✔️ Agrupando os resultados [ [tex](\star) - (\star\star)[/tex] ], obteremos finalmente, a solução geral:
[tex]\large\begin{array}{lr} \red{\underline{\boxed{\boxed{\displaystyle\rm \therefore\:\int\dfrac{\sinh(x)-e^{-x}}{\cosh^2(x)}\,dx = -2\left[sech(x) + \arctan(e^x) \right] +\mathbb{C} }}}}\\\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\qquad\blacksquare\end{array}[/tex]
❏ Seção de links para complementar o estudo sobre antiderivadas, EDO:
[tex]\rule{7cm}{0.01mm}\\\texttt{Bons estudos! :D}\\\rule{7cm}{0.01mm}[/tex]