(Aritmética: Números naturais – Números primos – Divisibilidade)Seja [tex]p\in\mathbb{N}[/tex] um nú.... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 113 Report

(Aritmética: Números naturais – Números primos – Divisibilidade)

Seja [tex]p\in\mathbb{N}[/tex] um número primo. Considere as sequência dos números naturais

[tex]a(n)=6(35n+29)+5[/tex]

[tex]b(n)=30(7n+1)+1[/tex]

com [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex] Mostre que

a) se [tex]p\mid a(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]

b) se [tex]p\mid b(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]

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gabrielcguimaraes

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[tex]a(n) = 6(35n + 29) + 5\\a(n) = 210n + 174 + 5\\a(n) = 210n + 179[/tex]

[tex]210n[/tex] sempre será par, portanto ao ser acrescido de um ímpar o resultado será ímpar.

[tex]210n[/tex] é múltiplo de 3, porém deixará de ser ao ser acrescido de [tex]179[/tex].

De mesmo modo se conclui que [tex]a(n)[/tex] não é múltiplo de 5 e tampouco de 7.

Logo, se algum primo divide [tex]a(n)[/tex], ele não é 2, 3, 5 nem 7, portanto deve ser maior ou igual a 11.

[tex]b(n) = 30(7n+1)+1\\b(n) = 210n + 30 + 1\\b(n) = 210n + 31[/tex]

[tex]210n[/tex] é múltiplo de 2, 3, 5 e 7, mas 31 não é múltiplo de nenhum destes, portanto, se algum [tex]p[/tex] primo divide [tex]b(n)[/tex], este não é 2, 3, 5 e 7, logo, tem que ser maior ou igual a 11.

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Lukyo Generalizando, se n é uma potência de um primo p, ou seja, n = p^k, então φ(n) = p^k - p^(k-1) = (p-1)*p^(k-1) = φ(p) * p^(k-1).

Lukyo = φ(p) * n/p

gabrielcguimaraes Oi, Lukyo, tudo bom? Achei uma atividade muito curiosa, já coloquei uma resposta, mas gostaria que você desse uma olhada, só para garantir que não cometi erros:
https://brainly.com.br/tarefa/53505599

gabrielcguimaraes Nossa, escrevi qualquer coisa, vou tentar corrigir.

gabrielcguimaraes Já corrigi, agora tenho certeza que não errei. Se não quiser nem precisa olhar. Obrigado.

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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