(Aritmética: Números naturais – Números primos – Divisibilidade)
Seja [tex]p\in\mathbb{N}[/tex] um número primo. Considere as sequência dos números naturais
[tex]a(n)=6(35n+29)+5[/tex]
[tex]b(n)=30(7n+1)+1[/tex]
com [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex] Mostre que
a) se [tex]p\mid a(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]
b) se [tex]p\mid b(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]
Seja [tex]p\in\mathbb{N}[/tex] um número primo. Considere as sequência dos números naturais
[tex]a(n)=6(35n+29)+5[/tex]
[tex]b(n)=30(7n+1)+1[/tex]
com [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex] Mostre que
a) se [tex]p\mid a(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]
b) se [tex]p\mid b(n),[/tex] então [tex]p\ge 11.[/tex]
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a)
[tex]a(n) = 6(35n + 29) + 5\\a(n) = 210n + 174 + 5\\a(n) = 210n + 179[/tex]
[tex]210n[/tex] sempre será par, portanto ao ser acrescido de um ímpar o resultado será ímpar.
[tex]210n[/tex] é múltiplo de 3, porém deixará de ser ao ser acrescido de [tex]179[/tex].
De mesmo modo se conclui que [tex]a(n)[/tex] não é múltiplo de 5 e tampouco de 7.
Logo, se algum primo divide [tex]a(n)[/tex], ele não é 2, 3, 5 nem 7, portanto deve ser maior ou igual a 11.
b)
[tex]b(n) = 30(7n+1)+1\\b(n) = 210n + 30 + 1\\b(n) = 210n + 31[/tex]
[tex]210n[/tex] é múltiplo de 2, 3, 5 e 7, mas 31 não é múltiplo de nenhum destes, portanto, se algum [tex]p[/tex] primo divide [tex]b(n)[/tex], este não é 2, 3, 5 e 7, logo, tem que ser maior ou igual a 11.
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