Resposta:

[tex]\dfrac{\sqrt{5} }{2} ,- \dfrac{\sqrt{5} }{2} , 0[/tex]

Explicação passo a passo:

[tex]\underbrace{\sqrt[3]{x+1}}_{a} +\underbrace{\sqrt[3]{x-1}}_{b} =\sqrt[3]{5x}[/tex]

[tex]\boxed{a+b=\sqrt[3]{5x}\qquad \text{(I)} }[/tex]

[tex]a^3+b^3= (x+1)+(x-1)\\\\\implies \boxed{a^3+b^3=2x\qquad \text{(II)}}[/tex]

[tex](a+b)^3=a^3+3a^2b+3ab^2+b^3\\(\underbrace{a+b}_{\sqrt[3]{5x} })^3=\underbrace{a^3+b^3}_{2x}+3ab(\underbrace{a+b}_{\sqrt[3]{5x}})\\5x=2x+3ab(\sqrt[3]{5x})\\3x=3ab(\sqrt[3]{5x})\\\\\implies \boxed{ab=\dfrac{x}{\sqrt[3]{5x}}\qquad \text{(III)} }[/tex]

[tex]\underbrace{a^3+b^3}_{2x}=\underbrace{(a+b)}_{\sqrt[3]{5x} }(a^2-\underbrace{ab}_{\frac{x}{\sqrt[3]{5x} } }+b^2)\\2x=\sqrt[3]{5x} \cdot \left(\dfrac{-x}{\sqrt[3]{5x} }+a^2+b^2\right )\\\dfrac{2x}{\sqrt[3]{5x}} =a^2+b^2- \dfrac{x}{\sqrt[3]{5x}}\\\\\dfrac{2x}{\sqrt[3]{5x}} + \dfrac{x}{\sqrt[3]{5x}} =a^2+b^2\\\\\implies \boxed{a^2+b^2=\dfrac{3x}{\sqrt[3]{5x}}\qquad \text{(IV)}}[/tex]

[tex](a-b)^2=a^2-2ab+b^2\\(a-b)^2=\underbrace{a^2+b^2}_{\frac{3x}{\sqrt[3]{5x}}}-2\cdot(\underbrace{ab}_{\frac{x}{\sqrt[3]{5x}}})\\\\(a-b)^2=\dfrac{3x}{\sqrt[3]{5x}}-\dfrac{2x}{\sqrt[3]{5x}}=\dfrac{x}{\sqrt[3]{5x}} \implies \dfrac{x\cdot\sqrt[3]{5x}^2}{\sqrt[3]{5x}\cdot\sqrt[3]{5x}^2}= \dfrac{x\cdot\sqrt[3]{5x}^2}{5x}=\dfrac{\sqrt[3]{5x}^2}{5} \\\\a-b=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt[3]{5x}^2}{5}} = \pm \dfrac{\sqrt[3]{5x} }{\sqrt{5} }\\[/tex]

[tex]\implies \boxed{a-b=\frac{\sqrt[3]{5x} }{\sqrt{5} } \qquad \text{ou}\qquad a-b=-\frac{\sqrt[3]{5x} }{\sqrt{5} } \qquad \text{(V)}}[/tex]

Para o primeiro caso:

[tex]\begin{cases} a+b=\sqrt[3]{5x} & \text{(I)} \\ a-b = \frac{\sqrt[3]{5x} }{\sqrt{5} } & \text{(V)}\end{cases}\\\\2a=\sqrt[3]{5x} +\frac{\sqrt[3]{5x} }{\sqrt{5} }\\\\a=\dfrac{\sqrt[3]{5x}\cdot (1+\frac{1}{\sqrt{5} })}{2} \implies a^3=\dfrac{5x\cdot(1+\frac{\sqrt{5} }{5})^3 }{2^3} \\\\x+1=\dfrac{5x\cdot(1+\frac{\sqrt{5} }{5})^3 }{8}\implies 8x+8=5x\cdot\left(1^3+3\cdot1^2\cdot\frac{\sqrt{5}}{5}+3\cdot1\cdot(\frac{\sqrt{5}}{5})^2+(\frac{\sqrt{5}}{5})^3\right)[/tex]

[tex]8x+8=5x\cdot \left(1+\frac{3\sqrt{5}}{5}+\frac{3}{5} +\frac{\sqrt{5} }{25} \right)= \left(5x+3x\sqrt{5}+3x +\frac{x\sqrt{5} }{5} \right)=\left(8x+\frac{16x\sqrt{5} }{5} \right)\\\\8x+8 = 8x+\frac{16x\sqrt{5} }{5} \implies \frac{16x\sqrt{5} }{5} = 8\implies \boxed{x=\dfrac{\sqrt{5} }{2}}[/tex]

Usando a mesma lógica para o segundo caso, tem-se que:

[tex]\begin{cases} a+b=\sqrt[3]{5x} & \text{(I)} \\ a-b = -\frac{\sqrt[3]{5x} }{\sqrt{5} } & \text{(V)}\end{cases}[/tex]

...

[tex]\implies \boxed{x=-\dfrac{\sqrt{5} }{2}}[/tex]

Portanto, encontramos 2 valores de x que satisfazem a equação. Entretanto, há um erro nessa resolução, pois x=0 também é solução. Talvez o erro seja no cancelamento de x com x no cálculo de (V), mas não sei.

Verified answer

Resposta:   Conjunto solução:   [tex]S=\left\{-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\,0,\,\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right\}.[/tex]

Bijetividade da função cúbica f(x) = x³

A função cúbica definida usualmente é injetiva e sobrejetiva, portanto vale a seguinte equivalência:

     [tex]a^3=b^3\quad\Longleftrightarrow\quad a=b\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

para quaisquer a, b reais.

Obs.: Não será demonstrado (i), pois foge ao propósito desta tarefa.

Fórmula para racionalizar soma de raízes cúbicas

Dados a, b, c reais, vale a equivalência a seguir:

     [tex]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=c\quad\Longleftrightarrow\quad 27abc^3=[c^3-(a+b)]^3\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Demonstração: Partindo do lado esquerdo da equivalência (ii), podemos elevar ao cubo ambos os membros da igualdade, mantendo a equivalência:

     [tex]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=c\qquad\mathrm{(iii)}\\\\ \overset{\mathrm{(i)}}{\Longleftrightarrow}\quad (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})^3=c^3[/tex]

Expanda o cubo da soma no lado esquerdo da igualdade:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad (\sqrt[3]{a})^3+3(\sqrt[3]{a})^2\sqrt[3]{b}+3\sqrt[3]{a}(\sqrt[3]{b})^2+(\sqrt[3]{b})^3=c^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+3\sqrt[3]{ab}\cdot \sqrt[3]{a}+3\sqrt[3]{ab}\cdot \sqrt[3]{b}+b=c^3[/tex]

Coloque o fator comum [tex]3\sqrt[3]{ab}[/tex] em evidência nas parcelas intermediárias:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad a+3\sqrt[3]{ab}\cdot (\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b})+b=c^3[/tex]

Por (iii), podemos substituir [tex]\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}=c:[/tex]

     [tex]\overset{\mathrm{(iii)}}{\Longleftrightarrow}\quad a+3\sqrt[3]{ab}\cdot (c)+b=c^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad a+b+3\sqrt[3]{ab}\cdot c=c^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 3\sqrt[3]{ab}\cdot c=c^3-(a+b)[/tex]

Novamente, eleve ao cubo ambos os lados da igualdade:

     [tex]\overset{\mathrm{(i)}}{\Longleftrightarrow}\quad (3\sqrt[3]{ab}\cdot c)^3=[c^3-(a+b)]^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 27abc^3=[c^3-(a+b)]^3\qquad\square[/tex]

Resolvendo a equação irracional

Dada a equação

     [tex]\sqrt[3]{x+1}+\sqrt[3]{x-1}=\sqrt[3]{5x}\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

podemos resolvê-la, racionalizando a soma das raízes cúbicas e transformando-a em uma equação polinomial na variável x.

Aplicando a equivalência (ii), com [tex]a=x+1,[/tex] [tex]b=x-1[/tex] e [tex]c=\sqrt[3]{5x},[/tex] temos

     [tex]\overset{\mathrm{(ii)}}{\Longleftrightarrow}\quad 27(x+1)(x-1)(\sqrt[3]{5x})^3=[(\sqrt[3]{5x})^3-((x+1)+(x-1))]^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 27(x+1)(x-1)(5x)=[(5x)-(2x)]^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 27(x+1)(x-1)(5x)=[3x]^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 27(x+1)(x-1)(5x)=27x^3\\\\ \Longleftrightarrow\quad 27(x+1)(x-1)(5x)-27x^3=0[/tex]

Coloque o fator comum [tex]27x[/tex] em evidência no lado esquerdo:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad 27x\cdot [5(x+1)(x-1)-x^2]=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\cdot [5(x^2-1)-x^2]=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\cdot [5x^2-5-x^2]=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x\cdot [4x^2-5]=0[/tex]

Nos reais, o produto é zero somente se algum dos fatores é zero. Portanto, segue que

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x=0\quad\mathrm{ou}\quad 4x^2-5=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=0\quad\mathrm{ou}\quad x^2=\dfrac{5}{4}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=0\quad\mathrm{ou}\quad x=\pm\sqrt{\dfrac{5}{4}}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=0\quad\mathrm{ou}\quad x=\pm\dfrac{\sqrt{5}}{2}[/tex]

sendo estas as soluções.

Obs.: Não é necessário testar os valores encontrados na equação inicial, pois conforme (i), ao elevarmos ambos os lados de qualquer igualdade ao cubo, a informação do sinal não é perdida.

Conjunto solução:   [tex]S=\left\{-\dfrac{\sqrt{5}}{2},\,0,\,\dfrac{\sqrt{5}}{2}\right\}.[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)