Resposta:

.    x  =  4   e   y  =  9     OU    x  =  9    e    y  =  4

Explicação passo a passo:

.    

.      x  +  y  -  √xy  =  7             (*)

.      x²  +  y²  +  xy  =  133        (**)

.

(*)    x  +  y  -  √xy  =  7

.      x  +  y  -  7  =  √xy     (elevando os dois membros ao quadrado)

.      (x  +  y  -  7)²  =  (√xy)²

.      x²  +  y²  +  2xy  -  14x  -  14y  +  49  =  xy

.      x²  +  y²  +  2xy  -  xy  -  14x  -  14y  =  - 49

.     x²  +  y²  +  xy  -  14x  -  14y  =  - 49               (x² + y² + xy = 133)

.     133  -  14x  -  14y  =  - 49

.    - 14x  -  14y  =  - 49  -  133

.    - 14x  -  14y  =  - 182

.    - 14.(x  +  y)  =  - 182

.    x  +  y  =  - 182  :  (- 14)

.    x  +  y  =  13

.

TEMOS:   x  +  y  =  13                 (elevando ao quadrado)
.               x²  +  y²  +  2xy  = 169     (subtraindo (**)

.

==>      x²  +  y²  +  2xy  =   169

.       - x²   -   y²  -    xy   =  - 133      ==>    xy  =  36

.

x  +  y  =  13     e   x,y  =  36

.

VEJA:   36  =  1  .  36  ==>  1  +  36  =  37  diferente  de  13

.                  =  2  .  18  ==>  2  +  18  =  20  diferente de  13

.                  =  3  .  12  ==>  3  +  12  =  15  diferente  de  13

.                 =   4  .  9   ==>  4  +  9  =  13    ( OK )

.

ENTÃO:     x  =  4  e  y  =  9      OU     x  =  9  e  y  =  4

.

(Espero ter colaborado)

.                    

Verified answer

Resposta: [tex]S=\{(4,\,9),\,(9,\,4)\}.[/tex]

Explicação passo a passo:

Tomemos a primeira equação do sistema:

     [tex]x+y=7+\sqrt{xy}\qquad\mathrm{(i)}[/tex]

Eleve ambos os membros ao quadrado:

     [tex]\Longrightarrow\quad (x+y)^2=(7+\sqrt{xy})^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+2xy+y^2=7^2+2\cdot 7\sqrt{xy}+(\sqrt{xy})^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+2xy+y^2=49+14\sqrt{xy}+xy[/tex]

Subtraia xy de ambos os lados:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x^2+2xy+y^2-xy=49+14\sqrt{xy}\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+y^2+xy=49+14\sqrt{xy}[/tex]

Observe que pela segunda equação do sistema, podemos substituir o lado esquerdo da igualdade acima pelo seu valor numérico, que é 133:

     [tex]\Longrightarrow\quad 133=49+14\sqrt{xy}\\\\ \Longleftrightarrow\quad 14\sqrt{xy}=133-49\\\\ \Longleftrightarrow\quad 14\sqrt{xy}=84\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sqrt{xy}=\dfrac{84}{14}\\\\\\ \Longleftrightarrow\quad \sqrt{xy}=6[/tex]

Eleve ambos os lados ao quadrado novamente:

     [tex]\Longrightarrow\quad (\sqrt{xy})^2=6^2\\\\ \Longleftrightarrow\quad xy=36\qquad\mathrm{(ii)}[/tex]

Retornando às equações do sistema, devemos ter então:

     [tex]x+y=7+\sqrt{xy}\\\\ \Longrightarrow\quad x+y=7+6\\\\ \Longleftrightarrow\quad x+y=13\qquad\mathrm{(iii)}[/tex]

     [tex]x^2+y^2=133-xy\\\\ \Longrightarrow\quad x^2+y^2=133-36\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2+y^2=97\qquad\mathrm{(iv)}[/tex]

Isolando y na equação (iii) em função de x, temos

     [tex]y=13-x[/tex]

e substituindo o y na equação (ii), a igualdade fica

     [tex]\Longrightarrow\quad x(13-x)=36\\\\ \Longleftrightarrow\quad 13x-x^2=36\\\\ \Longleftrightarrow\quad x^2-13x+36=0[/tex]

Reescreva o termo -13x convenientemente para que fatoremos por agrupamento:

     [tex]\Longleftrightarrow\quad x^2-4x-9x+36=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x(x-4)-9(x-4)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad (x-4)(x-9)=0\\\\ \Longleftrightarrow\quad x=4\quad\mathrm{ou}\quad x=9[/tex]

•    Se [tex]x=4,[/tex] então temos

     [tex]\Longrightarrow\quad y=13-4\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=9[/tex]

•    Se [tex]x=9,[/tex] então temos

     [tex]\Longrightarrow\quad y=13-9\\\\ \Longleftrightarrow\quad y=4[/tex]

Portanto, o conjunto solução é

     [tex]S=\{(4,\,9),\,(9,\,4)\}.[/tex]

Dúvidas? Comente.

Bons estudos! :-)