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Explicação passo a passo:

Vamos desenvolver a expressão do primeiro membro da igualdade até obtermos a expressão do segundo membro. A expressão do primeiro membro é:

[tex]\dfrac{2\sec(2x)}{\sec(2x)+1}[/tex]

Para desenvolver essa expressão, vamos utilizar as quatro seguintes identidades trigonométricas:

[tex]\boxed{\sec(a)=\dfrac{1}{\cos(a)}}\ \ \ \ \ \ \ \boxed{\cos^2(2a)=\cos^2(a)-\text{sen}^2(a)}[/tex]

[tex]\boxed{\text{sen}^2(a)+\cos^2(a)=1}\ \ \ \text{e}\ \ \ \boxed{\cos^2(a)=1-\text{sen}^2(a)}[/tex]

1) Desenvolvendo o numerador da expressão:

[tex]2\sec(2x)=2\cdot \dfrac{1}{\cos(2x)}=\boxed{\dfrac{2}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}}[/tex] --------> Numerador

2) Desenvolvendo o denominador da expressão:

[tex]\sec(2x)+1=\dfrac{1}{\cos(2x)}+1=\dfrac{1}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}+1=\dfrac{1+\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)} =[/tex]

[tex]=\dfrac{1-\text{sen}^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)} =\dfrac{\cos^2(x)+\cos^2(x)}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)} =[/tex]

[tex]=\boxed{\dfrac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}}[/tex]  -----------------> Denominador

3) Desenvolvendo a expressão do primeiro membro:

Substituindo esses duas expressões no numerador e no denominador da expressão do primeiro membro da igualdade inicial, teremos:

[tex]\dfrac{2\sec(2x)}{\sec(2x)+1}=\dfrac{\dfrac{2}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}}{\dfrac{2\cos^2(x)}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}}=[/tex]

[tex]=\dfrac{2}{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}\times \dfrac{\cos^2(x)-\text{sen}^2(x)}{2\cos^2(x)}=\dfrac{1}{\cos^2(x)} =\sec^2(x)[/tex]