Usando a técnica de redução ao absurdo e o Princípio da Boa Ordem, temos que, se a^n | 1, então n | p-1. Isso mostra que a conclusão é válida.

Aritmética: Congruência modular – Números primos – Teorema de Fermat – Teorema de Lagrange

Para demonstrar que n | p-1 usando a técnica de redução ao absurdo e o Princípio da Boa Ordem, podemos proceder da seguinte maneira:

Sejam a, n, p naturais, n ≥ 1, p primo e a^n ≡ 1 (mod p).

Suponha que n não divide p-1. Isso significa que existem naturais k e r tais que p-1 = kn + r, com 0 < r < n.

⇒ Como a^n ≡ 1 (mod p), então a^(kn + r) ≡ a^r (mod p).

⇒ Como p é primo, então a^(p-1) ≡ 1 (mod p), o que implica que a^r ≡ a^(p-1) (mod p).

⇒ Como r < n, então r é menor que o menor natural tal que a^r ≡ 1 (mod p). Isso é uma contradição, pois n é o menor natural tal que a^n ≡ 1 (mod p).

Portanto, n deve dividir p-1.

Isso mostra que a conclusão é válida.

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