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Explicação passo a passo:

1) Desenvolvendo a expressão do primeiro membro:

[tex]\sec(2x)+ \text{tg}(2x)=\dfrac{1}{\text{cos}(2x)}+\dfrac{\text{sen}(2x)}{\text{cos}(2x)} =\dfrac{1+\text{sen}(2x)}{\text{cos}(2x)}=\dfrac{1+2\cdot\text{sen}x\cdot\text{cos}x}{\text{cos}^2x-\text{sen}^2x}=[/tex]

[tex]=\dfrac{\text{sen}^2x+\text{cos}^2x+2\cdot\text{sen}x\cdot\text{cos}x}{\text{cos}^2x-\text{sen}^2x}=\dfrac{(\text{cos}x+\text{sen}x)^2}{(\text{cos}x+\text{sen}x)\cdot(\text{cos}x-\text{sen}x)} =\boxed{\dfrac{\text{cos}(x)+\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)-\text{sen}(x)}}[/tex]

2) Desenvolvendo a expressão do segundo membro:

[tex]\dfrac{1+\text{tg}(x)}{1-\text{tg}(x)}=\dfrac{\ \ 1+\dfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)}\ \ \ }{1-\dfrac{\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)} }=\dfrac{\ \ \ \dfrac{\text{cos}(x)+\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)} \ \ \ }{\dfrac{\text{cos}(x)-\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)} } =[/tex]

[tex]=\dfrac{\text{cos}(x)+\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)} \times\dfrac{\text{cos}(x)}{\text{cos}(x)-\text{sen}(x)} =\boxed{\dfrac{\text{cos}(x)+\text{sen}(x)}{\text{cos}(x)-\text{sen}(x)} }[/tex]

Como as duas expressões da igualdade original são iguais a uma terceira expressão, então elas são iguais entre si, como queríamos demonstrar.