Com base na lei de formação da sequência, vamos olhar para seus primeiros termos (aproximação de três casas decimais):

[tex]a_1=\sqrt{2}=1,414\\a_2=\sqrt{2+1,414} =1,848\\a_3=\sqrt{2+1,848}=1,962\\a_4= \sqrt{2+1,962}=1,990\\ a_5=\sqrt{2+1,990}=1,997\\ a_6=\sqrt{2+1,997}=1,999\\ ...[/tex]

Com base nesses valores, suspeita-se que a sequência seja crescente. Podemos verificar isso formalmente fazendo:

[tex]a_{n+1} > a_n\\\sqrt{2+a_n} > a_n\\ 2+a_n > a_n^2\\a_n^2-a_n-2 < 0[/tex]

A inequação acima é atendida quando [tex]-1 < a_n < 2[/tex]. Então, se pudermos garantir que [tex]a_n[/tex] nunca assumirá um valor fora desse intervalo, poderemos dizer não apenas que é crescente, mas que também é limitada.

Vamos verificar, por indução matemática, se [tex]a_n > -1[/tex] para todo n.

Percebe-se que a regra é válida para n = 1 (primeiro número do conjunto dos Naturais sem o zero), pois [tex]a_1=\sqrt{2} > -1[/tex].

Então, se ela for válida para qualquer n > 1, teremos provado que  [tex]a_n > -1[/tex] para todo n.

[tex]a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} > -1[/tex]

Elevando ao quadrado:

[tex]2+a_n > 1\\a_n > -1[/tex]

Portanto, partindo de um n > 1 qualquer, concluimos que [tex]a_n > -1[/tex] para todo n.

Agora, o mesmo procedimento para avaliar se [tex]a_n < 2[/tex] para todo n.

Percebe-se que a regra é válida para n = 1, pois [tex]a_1=\sqrt{2} < 2[/tex].

Então, se ela for válida para qualquer n > 1, teremos provado que  [tex]a_n < 2[/tex] para todo n.

[tex]a_{n+1}=\sqrt{2+a_n} < 2[/tex]

Elevando ao quadrado:

[tex]2+a_n < 4\\a_n < 2[/tex]

Portanto, partindo de um n > 1 qualquer, concluimos que [tex]a_n < 2[/tex] para todo n.

a) Confirmadas as proposições condicionantes, podemos concluir que a sequência em questão é estritamente crescente, pois [tex]a_{n+1} > a_n[/tex] ∀ n. Isto é, para todo n, um termo sempre será maior que seu antecessor.

Além disso, também conseguimos mostra que a sequência é limitada. Isto é, existe um número real k tal que [tex]a_n < k[/tex] para todo n.

Com essas observações, podemos evocar um Teorema muito útil que afirma que toda sequência monótona limitada é convergente. Funciona para o nosso caso, pois sequências estritamente crescentes/decrescentes são um caso particular das sequências monótonas, nas quais é possível que [tex]a_{n+1}=a_n[/tex] para algum n.

Então, concluímos que [tex]a_n[/tex] é convergente.

b) Provada a convergência da sequência [tex]a_n[/tex], podemos associar um número real desconhecido ao seu limite quando n tende ao infinito.

[tex]L= \lim_{n \to \infty} a_n = \lim_{n \to \infty} \sqrt{2+a_{n-1}[/tex]

[tex]L=\sqrt{2+ \lim_{n \to \infty} a_{n-1}[/tex]

[tex]L = \sqrt{2+L}[/tex]

[tex]L^2=2+L\\L^2-L-2=0[/tex]

Cujas soluções são -1 e 2. No entanto, [tex]a_1=\sqrt{2} > -1[/tex]. Então, lembrando que a sequência é estritamente crescente, -1 é um valor impossível.

Assim, concluímos que [tex]\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt{2+...} } }=2[/tex]