Usando teoria dos números envolvendo números naturais e primos mostramos que se p é um número primo da forma 4k + 1, então pode ser escrito como a soma de dois quadrados.

Números primos

Vamos começar assumindo que p é um número primo da forma 4k + 1, onde k é um número natural. Queremos mostrar que p pode ser escrito na forma [tex]a^2 + b^2[/tex], onde a e b são inteiros. Como p é primo, todos os números de 1 a p - 1 são relativamente primos de p. Isso significa que nenhum deles compartilha nenhum fator comum (divisores) com p.

Calculando os quadrados dos números de 0 a p - 1. Por exemplo, se p = 5, os quadrados seriam 0², 1², 2², 3² e 4², que são 0, 1, 4, 9 e 16, respectivamente. Dividindo cada quadrado por p e encontrando os restos quando dividido por p. Considerando o exemplo anterior, se p = 5, os restos seriam 0, 1, 4, 4 e 1, respectivamente.

Quando p estiver na forma 4k + 1, os restos seguirão um padrão específico. Nesse caso, os restos são 0, 1, 4, 4 e 1, que se repete. Esse padrão continuará para todo p da forma 4k + 1. Como o padrão se repete, podemos encontrar dois números (a e b) de modo que seus quadrados forneçam os restos do padrão.

Nesse caso, podemos escolher a = 2 e b = 1. Portanto, a² + b² = 2² + 1² = 4 + 1 = 5, que é igual a p.

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