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Podemos identificar os dois últimos dígitos de um número Natural encontrando o resto de sua divisão por 100.

Vamos fazer o problema por partes, utilizando os recursos e notações de Aritmética Modular.

Para este problema, lançaremos mão de uma propriedade que diz o seguinte:

[tex]\Rightarrow[/tex] Se [tex]c\equiv d\: (mod\: \varphi(n))[/tex], onde [tex]\varphi(n)[/tex] é a função totiente de Euler para n natural, então [tex]a^c\equiv a^d(mod\:n)[/tex] quando mdc(a,n) = 1. Isto é, quando a e n são coprimos.

Valor da função totiente de Euler para n = 100

A função totiente de um número natural n é definida pela quantidade de números naturais menores ou iguais a n que são coprimos em relação a ele.

No caso, sabemos que [tex]100=2^2.5^2[/tex]. Então, estamos procurando por todos os números ímpares, menores que 100, que não dividem 5. Não é difícil constatar que [tex]\varphi(100)=30[/tex].

Resto da divisão de [tex]7^{3753}[/tex] por 30

[tex]7\equiv7 (mod\:30)[/tex]

[tex]7^{3753}\equiv7^{3753} (mod\:30)[/tex]

Aqui, é interessante perceber que

• [tex]7^4=2401[/tex]; e que
• [tex]2401\equiv1(mod\:30)[/tex].

Reescrevendo a congruência desejada:

[tex]7^{3753}\equiv(7^4)^{938}.7 (mod\:30)[/tex]

[tex]7^{3753}\equiv1^{938}.7 (mod\:30)[/tex]

[tex]7^{3753}\equiv7\: (mod\:30)[/tex]

Resto da divisão de [tex]7^{7^{3753}}[/tex] por 100

Como 7 e 100 são coprimos, podemos utilizar a congruência encontrada no item anterior para acionar a propriedade evocada no início e fazer:

[tex]7^{7^{3753}}\equiv7^7\:(mod\:100)[/tex]

Perceba que [tex]7^4\equiv1\:(mod\:100)[/tex], da mesma forma que com 30, como observamos acima. Continuando:

[tex]7^{7^{3753}}\equiv7^4.7^3\:(mod\:100)\\7^{7^{3753}}\equiv1.7^3\:(mod\:100)\\7^{7^{3753}}\equiv7^3\:(mod\:100)\\7^{7^{3753}}\equiv343\:(mod\:100)\\7^{7^{3753}}\equiv43\:(mod\:100)[/tex]

Resposta: os dois últimos dígitos de [tex]7^{7^{3753}}[/tex] são 4 e 3.

Com o estudo sobre potência de 7, temos que os dois últimos algarismos serão 4 e 3.

Potenciação

Olhando para as potencias de 7, vemos uma certa característica cíclica nos dois últimos dígitos das respostas. Dê uma olhada abaixo:

[tex]\begin{cases}7^0=1&7^3=343\\ 7^1=7&\\ 7^2=49&\end{cases}[/tex]

[tex]\begin{cases}7^4=2401&7^7=823543\\ 7^5=16807&\\ 7^6=117649&\end{cases}[/tex]

Os dois últimos números sempre se repetem em quádruplo. Disso podemos concluir que, por exemplo, se tivermos [tex]7^3^5[/tex], podemos dizer que seus dois últimos dígitos são 43.

Isso ocorre porque o expoente 35 tem 8 grupos de 4 e sobram 3, então seus dois últimos dígitos são iguais a [tex]7^3[/tex], que é 43. Daí podemos resolver o exercício.

Dentro de 3753 cabem 13 grupos de 4 e sobram 1. Portanto, seus dois últimos algarismos serão iguais ao do número 7¹, que são 7. Ou seja:

[tex]7^{---..07}[/tex]

07 será sete unidades maior do que um múltiplo de 4. Sendo assim, quando dividirmos por 4 (para saber quantos grupos de 4 cabem) irá sobrar 3. Com isso concluímos que os dois últimos algarismos de [tex]7^{---..07}[/tex] serão iguais aos do 7³ que são 43.

Saiba mais sobre Potenciação: https://brainly.com.br/tarefa/5146130

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