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Resposta: x corresponderá a todos os valores tais que x = 180q + 58, com q natural, sendo 58 a solução mínima. Vamos ver por quê.

Considerações iniciais

Neste problema temos um sistema de congruências em que os módulos são diferentes e não coprimos dois a dois. Isso porque:

12 = 2.2.3

15 = 3.5

18 = 2.3.3

evidenciando que seu Máximo Divisor Comum (MDC) é igual a 3 e que, portanto, não podemos usar o Teorema Chinês dos Restos (TCR) diretamente. Sabendo disso, vamos resolver o problema por duas aproximações.

1) Padronização dos módulos

A ideia aqui é reescrever as congruências originais para um mesmo módulo e resolver o sistema resultante. Primeiro, tomemos o Mínimo Múltiplo Comum (MMC) dos módulos originais.

[tex]12,15,18|2\\6,15,9|2\\3,15,9|3\\1,5,3|3\\1,5,1|5\\1,1,1[/tex]

Portanto, MMC(12,15,18) = 2.2.3.3.5 = 180.

Agora, multiplicamos cada equação pelo quociente entre 180 e seus módulos originais:

[tex]15x\equiv15.10\:(mod\:15.12)\\12x\equiv12.13\:(mod\:12.15)\\10x\equiv10.4\:\:\:(mod\:10.18)[/tex]

Ficando assim:

[tex]15x\equiv150\:(mod\:180)\\12x\equiv156\:(mod\:180)\\10x\equiv40\:\:\:(mod\:180)[/tex]

Observe que 15x + 12x + 10x = 37x, e que MDC(37,180) = 1, o que garante a existência de representantes da classe inversa de 37 módulo 180. Só por isso é possível dar o passo seguinte, que consiste em multiplicar a primeira congruência por 3 e a segunda e a terceira por -2:

[tex]3.15x\equiv3.150\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:(mod\:180)\\(-2)12x\equiv(-2)156\:(mod\:180)\\(-2)10x\equiv(-2)40\:\:\:(mod\:180)[/tex]

Fazendo as operações:

[tex]45x\equiv450\:\:\:\:\:\:\:\:\:(mod\:180)\\-24x\equiv-312\:(mod\:180)\\-20x\equiv-80\:\:\:(mod\:180)[/tex]

Agora, somamos as três congruências:

[tex]x\equiv58\:(mod\:180)[/tex]

Convenientemente, a congruência resultante já nos indica a resposta final, que é:

[tex]x=180q+58\:|\:x\in \mathbb{N}[/tex]

2) Aproximação pelo TCR

Como abordado anteriormente, o TCR não pode ser diretamente aplicado porque MDC(12,15,18) = 3 ≠ 1.

No entanto, podemos torná-lo viável fazendo o 3 aparecer como fator comum nas congruências. Neste caso, isso pode ser feito somando 2 em ambos os lados. Veja:

[tex]x+2\equiv10+2\:(mod\:12)\\x+2\equiv13+2\:(mod\:15)\\x+2\equiv4+2\:\:\:(mod\:18)[/tex]

Sabemos da segunda congruência que x deixa resto 13 na divisão por 15. Então, (x + 2) será um múltiplo de 15 e, por consequência, de 3. Isso nos permite fazer a substituição 3y = x + 2, com y natural. Continuando:

[tex]3y\equiv3.4\:(mod\:3.4)\\3y\equiv3.5\:(mod\:3.5)\\3y\equiv3.2\:(mod\:3.6)[/tex]

Simplificando:

[tex]y\equiv4\equiv0\:(mod\:4)\\y\equiv5\equiv0\:(mod\:5)\\y\equiv2\equiv2\:(mod\:6)[/tex]

Perceba que ainda não podemos aplicar o TCR, uma vez que MDC(4,6) = 2 ≠ 1. No entanto as duas primeiras congruências nos dizem que y é múltiplo, simultaneamente, de 4 e de 5. Ou seja, também é múltiplo de 20. Vamos juntá-las em uma única congruência módulo 20.

[tex]y\equiv0\:(mod\:20)\\y\equiv2\:(mod\:6)[/tex]

Temos que MDC(6,20) = 2 ≠ 1, então repetiremos o procedimento e buscaremos tornar 2 um fator comum nas congruências. Aqui, só precisamos fazer uma nova substituição, 2z = y, com z natural. Como y é múltiplo de 20, consequentemente é par, então podemos fazê-la sem problemas:

[tex]2z\equiv0\:(mod\:2.10)\\2z\equiv2\:(mod\:2.3)[/tex]

Simplificando:

[tex]z\equiv0\:(mod\:10)\\z\equiv1\:(mod\:3)[/tex]

Agora temos uma situação viável à aplicação do TCR, pois mdc(10,3) = 1. Vamos lá:

[tex]z\equiv0.(3.3^{-1}\:mod\:10)+1.(10.10^{-1}\:mod\:3)\:(mod\:10.3)[/tex]

[tex]z\equiv(10.1^{-1}\:mod\:3)\:(mod\:30)[/tex]

[tex]z\equiv10.1\:(mod\:30)[/tex]

[tex]z = 30q+10\:|\:q\in\mathbb{N}[/tex]

Voltando para y:

[tex]y=2z\\y=60q+20[/tex]

Voltando para x:

[tex]x=3y-2[/tex]

[tex]x=3(60q+20)-2[/tex]

[tex]x=180q+58\:|\:q\in\mathbb{N}[/tex]

Coincidindo com a resposta encontrada pelo método anterior.