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Resposta: de fato, 13 divide [tex]n(n^3-1)(n^3+1)(n^3-5)(n^3+5)[/tex]. Vamos ver por quê.

Aritmética módulo 13

Como queremos verificar se 13 divide o polinômio dado, é interessante que comecemos observando o comportamento dos restos das divisões de cubos perfeitos (da forma [tex]n^3[/tex]) por 13.

[tex]1^3=1\equiv1\\2^3=8\equiv8\\3^3=27\equiv1\\4^3=64\equiv12\\5^3=125\equiv8\\6^3=216\equiv8\\7^3=343\equiv5\\8^3=512\equiv5\\9^3=729\equiv1\\10^3=1000\equiv12\\11^3=1331\equiv5\\12^3=1728\equiv12\\13^3=2197\equiv0\\[/tex]

Ou seja, os possíveis restos da divisão de um cubo perfeito por 13 são 0, 1, 5, 8 ou 12.

Desenvolvimento

Agora, com base na propriedade de translação das congruências, isto é:

[tex]a+k\equiv b+k\:(mod\:n)\:|\:a\equiv b\:(mod\:n)[/tex]

olhemos para os possíveis restos dos polinômios envolvidos na análise.

• (n³-1): 12, 0, 4, 7 ou 11
• (n³+1): 1, 2, 6, 9 ou 0
• (n³-5): 8, 9, 0, 3 ou 7
• (n³+5): 5, 6, 10, 0 ou 4

Repare que quando [tex]n^3[/tex] é divisível por 13 (resto 0), nenhum dos termos acima poderá ser. Nesse caso, no entanto, o [tex]n[/tex] isolado será.

Conclusão

Observa-se que, para todo cubo perfeito (n³), exatamente um dos polinômios analisados resultará em um múltiplo de 13. Portanto, é seguro dizer que o produto de todos eles resultará em um número divisível por 13.