(Aritmética: Números primos – primos de Mersenne)Seja p um número natural, p > 1. Mostre que se [.... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 102 Report

(Aritmética: Números primos – primos de Mersenne)

Seja p um número natural, p > 1. Mostre que

se [tex]2^p-1[/tex] é primo, então p é primo.

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gabrielcguimaraes

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Temos que demonstrar que se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, p não pode ser composto.

Nesse caso, tratando p como composto, temos que p pode ser escrito como:

[tex]p = nm[/tex], com [tex]n > 1[/tex] e [tex]m > 1[/tex]

Portanto:

[tex]2^p - 1\\= 2^{mn} - 1\\= (2^m)^n - 1\\= y^n - 1[/tex]

"Se um polinômio [tex]P(y)[/tex] tem como uma de suas raízes [tex]y = a[/tex], então [tex]P(y)[/tex] é divisível por [tex](y - a)[/tex]"

Sendo "a" uma das soluções:
[tex]a^n - 1 = 0\\a^n = 1\\a = 1[/tex]

Então:
[tex]y^n - 1 = (y - 1) \cdot q_y[/tex]

Ou seja, para que, com p composto, [tex]2^p - 1[/tex] seja primo, [tex](y - 1) \cdot q_y[/tex] deve ser primo. Será demonstrado a seguir que [tex](y-1)[/tex] não pode ser [tex]1[/tex] e tampouco [tex]y^n-1[/tex] :

[tex](y-1) = 1[/tex] somente com [tex]y = 2[/tex]. Mas como [tex]y = 2^m[/tex], e [tex]m > 1[/tex], logo [tex]2^m > 2[/tex], ou também, [tex]y > 2[/tex].

E quanto à outra afirmação:
[tex]1 < n\\m < mn\\2^m < (2^m)^n\\2^m - 1 < (2^m)^n - 1\\(y -1 ) < (y^n - 1)[/tex]

Logo, se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, [tex]p[/tex] é primo.

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Lukyo Ali na sua resposta, quando você escreve (y - 1) * k, aquele k na verdade é em função de y (pois é um polinômio)

gabrielcguimaraes Ok, tenho que me retirar com certa urgência, porém quando retornar eu arrumo.

Lukyo Sim, mas para vc ver as abordagens de como ele é enunciado e demonstrado de outras formas

gabrielcguimaraes Já dei uma olhada em um vídeo para cada um desses teoremas. Os vídeos disseram o mesmo que já aprendi aqui.

gabrielcguimaraes Teria alguma atividade simples na manga para finalizar o dia?

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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