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Temos que demonstrar que se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, p não pode ser composto.

Nesse caso, tratando p como composto, temos que p pode ser escrito como:

[tex]p = nm[/tex], com [tex]n > 1[/tex] e [tex]m > 1[/tex]

Portanto:

[tex]2^p - 1\\= 2^{mn} - 1\\= (2^m)^n - 1\\= y^n - 1[/tex]

"Se um polinômio [tex]P(y)[/tex] tem como uma de suas raízes [tex]y = a[/tex], então [tex]P(y)[/tex] é divisível por [tex](y - a)[/tex]"

Sendo "a" uma das soluções:
[tex]a^n - 1 = 0\\a^n = 1\\a = 1[/tex]

Então:
[tex]y^n - 1 = (y - 1) \cdot q_y[/tex]

Ou seja, para que, com p composto, [tex]2^p - 1[/tex] seja primo, [tex](y - 1) \cdot q_y[/tex] deve ser primo. Será demonstrado a seguir que [tex](y-1)[/tex] não pode ser [tex]1[/tex] e tampouco [tex]y^n-1[/tex] :

[tex](y-1) = 1[/tex] somente com [tex]y = 2[/tex]. Mas como [tex]y = 2^m[/tex], e [tex]m > 1[/tex], logo [tex]2^m > 2[/tex], ou também, [tex]y > 2[/tex].

E quanto à outra afirmação:
[tex]1 < n\\m < mn\\2^m < (2^m)^n\\2^m - 1 < (2^m)^n - 1\\(y -1 ) < (y^n - 1)[/tex]

Logo, se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, [tex]p[/tex] é primo.