"Se um polinômio [tex]P(y)[/tex] tem como uma de suas raízes [tex]y = a[/tex], então [tex]P(y)[/tex] é divisível por [tex](y - a)[/tex]"
Sendo "a" uma das soluções: [tex]a^n - 1 = 0\\a^n = 1\\a = 1[/tex]
Então: [tex]y^n - 1 = (y - 1) \cdot q_y[/tex]
Ou seja, para que, com p composto, [tex]2^p - 1[/tex] seja primo, [tex](y - 1) \cdot q_y[/tex] deve ser primo. Será demonstrado a seguir que [tex](y-1)[/tex] não pode ser [tex]1[/tex] e tampouco [tex]y^n-1[/tex] :
[tex](y-1) = 1[/tex] somente com [tex]y = 2[/tex]. Mas como [tex]y = 2^m[/tex], e [tex]m > 1[/tex], logo [tex]2^m > 2[/tex], ou também, [tex]y > 2[/tex].
E quanto à outra afirmação: [tex]1 < n\\m < mn\\2^m < (2^m)^n\\2^m - 1 < (2^m)^n - 1\\(y -1 ) < (y^n - 1)[/tex]
Logo, se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, [tex]p[/tex] é primo.
2 votes Thanks 1
Lukyo
Ali na sua resposta, quando você escreve (y - 1) * k, aquele k na verdade é em função de y (pois é um polinômio)
gabrielcguimaraes
Ok, tenho que me retirar com certa urgência, porém quando retornar eu arrumo.
Lukyo
Sim, mas para vc ver as abordagens de como ele é enunciado e demonstrado de outras formas
gabrielcguimaraes
Já dei uma olhada em um vídeo para cada um desses teoremas. Os vídeos disseram o mesmo que já aprendi aqui.
gabrielcguimaraes
Teria alguma atividade simples na manga para finalizar o dia?
Lista de comentários
Verified answer
Temos que demonstrar que se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, p não pode ser composto.
Nesse caso, tratando p como composto, temos que p pode ser escrito como:
[tex]p = nm[/tex], com [tex]n > 1[/tex] e [tex]m > 1[/tex]
Portanto:
[tex]2^p - 1\\= 2^{mn} - 1\\= (2^m)^n - 1\\= y^n - 1[/tex]
"Se um polinômio [tex]P(y)[/tex] tem como uma de suas raízes [tex]y = a[/tex], então [tex]P(y)[/tex] é divisível por [tex](y - a)[/tex]"
Sendo "a" uma das soluções:
[tex]a^n - 1 = 0\\a^n = 1\\a = 1[/tex]
Então:
[tex]y^n - 1 = (y - 1) \cdot q_y[/tex]
Ou seja, para que, com p composto, [tex]2^p - 1[/tex] seja primo, [tex](y - 1) \cdot q_y[/tex] deve ser primo. Será demonstrado a seguir que [tex](y-1)[/tex] não pode ser [tex]1[/tex] e tampouco [tex]y^n-1[/tex] :
[tex](y-1) = 1[/tex] somente com [tex]y = 2[/tex]. Mas como [tex]y = 2^m[/tex], e [tex]m > 1[/tex], logo [tex]2^m > 2[/tex], ou também, [tex]y > 2[/tex].
E quanto à outra afirmação:
[tex]1 < n\\m < mn\\2^m < (2^m)^n\\2^m - 1 < (2^m)^n - 1\\(y -1 ) < (y^n - 1)[/tex]
Logo, se [tex]2^p - 1[/tex] é primo, [tex]p[/tex] é primo.