(Aritmética: Números primos – divisibilidade)Sejam [tex]n,\,p[/tex] números naturais. Mostre que .... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 95 Report

(Aritmética: Números primos – divisibilidade)

Sejam [tex]n,\,p[/tex] números naturais. Mostre que

se [tex](n+1)^p-n^p[/tex] é primo, então [tex]p[/tex] é primo.

─────

Dica: Use a técnica de redução ao absurdo, ou demonstre a implicação contrapositiva.

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gabrielcguimaraes

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Demonstraremos a seguir que se [tex]p[/tex] não é primo, então [tex](n+1)^p - n^p[/tex] tampouco é primo.
Se [tex]p[/tex] é composto, então ele pode ser escrito como:
[tex]p = mk[/tex]

Com [tex]m[/tex] e [tex]k[/tex] ambos naturais diferentes de 1. Disso se pode concluir também que:
[tex]m \geq 2\\k \geq 2\\[/tex]

Então:
[tex](n+1)^p - n^p\\= (n+1)^{mk} - n^{mk}\\= x^k - y^k[/tex]

De acordo com o Teorema de D'Alembert, um polinômio [tex]P(x)[/tex] é divisível por [tex]x-a[/tex] sempre quando [tex]a[/tex] é uma das raízes do polinômio. Evidentemente, se [tex]y=x[/tex] então [tex]y[/tex] é uma das raízes:
[tex]q(x-y) = x^k - y^k[/tex]

Como demonstrado na tarefa neste link*, [tex]x-y = x^k - y^k[/tex] somente quando [tex]k\leq 1[/tex], que, em nossa atividade, como [tex]k \geq 2[/tex], nos diz que [tex]q \neq 1[/tex]. Temos também que [tex]x-y \neq 1[/tex], pois [tex](n+1)^m - n^m[/tex], com [tex]m\geq 2[/tex] não pode resultar em 1, o que significa que [tex]q(x-y)[/tex] é composto. Logo, com [tex]p[/tex] composto, nunca se pode chegar a [tex](n+1)^p - n^p[/tex] primo, então se esta expressão é um primo, [tex]p[/tex] também é primo.

* https://brainly.com.br/tarefa/53304919

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gabrielcguimaraes Consegui fazer a demonstração. É realmente mágico.

Lukyo Para falar a verdade utilizá-la diminui o comprimento da sua resposta, mas ela não é essencial para demonstrar aquela proposição por indução Finita. Se você recorrer aos fatoriais como eu falei, obtém o mesmo resultado

gabrielcguimaraes Eu havia tratado os fatoriais como produtos de outros dois fatoriais, não como somas... por isso não estava chegando a lugar algum na atividade.

Lukyo Tudo bem, toda tentativa é válida, inclusive nelas observamos até o que não estamos buscando encontrar

Lukyo Várias soluções de problemas matemáticos surgiram na tentativa de resolver outro problema que aparentemente nada tinha a ver com o primeiro, mas no fundo estão fortemente relacionados

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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