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Demonstraremos a seguir que se [tex]p[/tex] não é primo, então [tex](n+1)^p - n^p[/tex] tampouco é primo.
Se [tex]p[/tex] é composto, então ele pode ser escrito como:
[tex]p = mk[/tex]

Com [tex]m[/tex] e [tex]k[/tex] ambos naturais diferentes de 1. Disso se pode concluir também que:
[tex]m \geq 2\\k \geq 2\\[/tex]

Então:
[tex](n+1)^p - n^p\\= (n+1)^{mk} - n^{mk}\\= x^k - y^k[/tex]

De acordo com o Teorema de D'Alembert, um polinômio [tex]P(x)[/tex] é divisível por [tex]x-a[/tex] sempre quando [tex]a[/tex] é uma das raízes do polinômio. Evidentemente, se [tex]y=x[/tex] então [tex]y[/tex] é uma das raízes:
[tex]q(x-y) = x^k - y^k[/tex]

Como demonstrado na tarefa neste link*, [tex]x-y = x^k - y^k[/tex] somente quando [tex]k\leq 1[/tex], que, em nossa atividade, como [tex]k \geq 2[/tex], nos diz que [tex]q \neq 1[/tex]. Temos também que [tex]x-y \neq 1[/tex], pois [tex](n+1)^m - n^m[/tex], com [tex]m\geq 2[/tex] não pode resultar em 1, o que significa que [tex]q(x-y)[/tex] é composto. Logo, com [tex]p[/tex] composto, nunca se pode chegar a [tex](n+1)^p - n^p[/tex] primo, então se esta expressão é um primo, [tex]p[/tex] também é primo.

* https://brainly.com.br/tarefa/53304919