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Resposta: de fato, [tex]n^2+n^3[/tex] não pode ser um cubo perfeito. Vamos ver por quê.

Termo original

[tex]n^2+n^3\:|\:n\geq 1\:\:\:\:\:(i)[/tex]

Análise

Vamos começar reescrevendo [tex](i)[/tex] de forma mais conveniente.

[tex]n^2+n^3[/tex]

[tex]n^2(n+1)[/tex]

Fazendo [tex]k = n + 1\: |\:k\geq 2[/tex] :

[tex](k-1)^2.k[/tex]

[tex](k^2-2k+1).k[/tex]

[tex]k^3-2k^2+k[/tex]

[tex]k^3-(2k^2-k)\:\:\:\:\:(ii)[/tex]

Olhando para [tex](ii)[/tex], percebemos que há um cubo perfeito [tex](k^3)[/tex] sendo subtraído de [tex](2k^2-k)[/tex]. Para que o resultado dessa operação também seja um cubo perfeito, precisamos verificar se a diferença entre dois cubos perfeitos quaisquer pode ser igual ao termo [tex](2k^2-k)[/tex].

Para tanto, consideremos t natural | t ≥ 1 e façamos:

[tex]f(k) = k^3[/tex]

[tex]f(k+t)=(k+t)^3=k^3+3k^2t+3kt^2+t^3[/tex]

Queremos:

[tex]f(k+t)-f(k)=2k^2-k[/tex]

Isto é:

[tex](k^3+3k^2t+3kt^2+t^3)-k^3=2k^2-k[/tex]

[tex](3t-2)k^2+(3t^2+1)k+t^3=0\:\:\:\:\:(iii)[/tex]

Disposta dessa forma, perceba que temos uma equação quadrática em função de k, considerando t constante. Avaliemos seu delta:

[tex]\Delta=b^2-4ac[/tex]

[tex]\Delta=(3t^2+1)^2-4.(3t-2).t^3[/tex]

[tex]\Delta=9t^4+6t^2+1-12t^4+8t^3[/tex]

[tex]\Delta=-3t^4+8t^3+6t^2+1[/tex]

Para que haja soluções reais, é preciso que o delta seja maior ou igual a zero. Vamos verificar quando isso acontece.

[tex]\Delta\ge0[/tex]

[tex]-3t^4+8t^3+6t^2+1 \geq 0[/tex]

[tex]t^2(-3t^2+8t+6) \geq -1[/tex]

A desigualdade acima só se verifica quando t = 1, 2 ou 3, que são os valores para os quais -3t² tem módulo menor que (8t + 6). Não precisamos nos preocupar com t² porque sempre será maior que -1.

Agora, temos que aplicar os valores possíveis de t em [tex](iii)[/tex] e avaliar os resultados obtidos para k.

t = 1

[tex](3.1-2)k^2+(3.1^2+1)k+1^3=0[/tex]

[tex]k^2+4k+1=0[/tex]

Buscamos por números cuja soma é -4 e produto é 1. Não há solução natural, logo t = 1 está descartado.

t = 2

[tex](3.2-2)k^2+(3.2^2+1)k+2^3=0[/tex]

[tex]4k^2+13k+8=0[/tex]

Buscamos por números cuja soma é -13/4 e produto é 2. Não há solução natural, logo t = 2 está descartado.

t = 3

[tex](3.3-2)k^2+(3.3^2+1)k+3^3=0[/tex]

[tex]7k^2+28k+27=0[/tex]

Buscamos por números cuja soma é -28/7 e produto é 27/7. Não há solução natural, logo t = 3 também está descartado.

Como não encontramos soluções naturais para k, também não haverá para n, que é nossa variável original.

Conclusão

A análise realizada mostrou que [tex]n^2+n^3[/tex], para n natural maior ou igual a 1, não pode ser um cubo perfeito.