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Resposta: de fato, [tex](n+2)[/tex] e [tex](n^2+n+1)[/tex] não podem ser simultaneamente cubos perfeitos. Vamos ver por quê.

Proposição

"O produto de dois cubos perfeitos sempre será um cubo perfeito."

Podemos mostrar isso a partir das propriedades de potências.

Sejam A e B dois números naturais quaisquer. Seus cubos, A³ e B³, ao serem multiplicados fazem:

[tex]A^3.B^3=(A.B)^3[/tex]

Como A e B são naturais, chamemos Z = A.B, também natural. Reescrevendo:

[tex]A^3.B^3=Z^3[/tex]

O que confirma a proposição.

Aplicação

Com base na proposição acima, podemos dizer que [tex](n+2)[/tex] e [tex](n^2+n+1)[/tex] serão simultaneamente cubos perfeitos se, e somente se, seu produto também for um cubo perfeito. Vamos verificar:

[tex](n+2)(n^2+n+1)[/tex]

[tex]n^3+n^2+n+2n^2+2n+2[/tex]

[tex]n^3+3n^2+3n+2\:\:\:\:\:(i)[/tex]

A partir de desdobramentos do Binômio de Newton, evocamos o já consagrado produto notável do cubo da soma de dois termos:

[tex](A+B)^3=A^3+3A^2B+3AB^3+B^3[/tex], sendo A e B inteiros quaisquer.

Para o caso particular em que A = n e B = 1, temos:

[tex](n+1)^3=n^3+3n^2+3n+1[/tex]

Com isso, podemos reescrever [tex](i)[/tex] da seguinte forma:

[tex](n+1)^3+1[/tex]

Conclusão

Ou seja, o produto dos polinômios iniciais é, na verdade, o sucessor de um cubo perfeito da forma [tex](n+1)^3[/tex]. No entanto, não existem dois números naturais consecutivos, maiores ou iguais a 1, que sejam cubos perfeitos. Isso porque, além de [tex]f(x)=x^3[/tex] ser estritamente crescente para x ≥ 1 | x natural, as diferenças entre dois valores consecutivos dessa função sempre serão maiores que 1. Veja:

[tex]f(x+1)-f(x) > 1[/tex]

[tex](x+1)^3-x^3 > 1[/tex]

[tex](x^3+3x^2+3x+1)-x^3 > 1[/tex]

[tex]3x(x+1) > 0[/tex]

o que é verdade para todo x natural maior ou igual a 1.

Ou seja,  [tex](n+2)[/tex] e [tex](n^2+n+1)[/tex] não podem ser cubos perfeitos simultaneamente.