Dados dois números reaisx, y, desejamos demonstrar que a diferença entre os módulos é menor ou igual que o módulo das diferenças, isto é
|x| − |y| ≤ |x − y|.
Para isso, utilizaremos algumas propriedades do módulo envolvendo desigualdades específicas.
Modulo ou valor absoluto de um número real
⋄ Definição: Seja a um número real. Definimos o módulo de a (notação |a|) através das duas sentenças a seguir:
|a| = a, se a ≥ 0
|a| = −a, se a < 0
Sendo a real, podemos também representar o módulo de a como a raiz quadrada de a²:
[tex]|a|=\sqrt{a^2}.[/tex]
Nesta última forma, enxergamos o módulo de a como a distância da imagem geométrica do número a até o zero na reta real.
Segue como consequência da própria definição que
|a| ≥ 0
para todo a real.
Algumas propriedades do módulo de um número real
⋄ Propriedade 1: Se a é um número real, então a ≤ |a|.
A verificação da proposição acima é relativamente simples. Pela definição, existem apenas dois casos a considerar.
Caso (i): a ≥ 0.
Neste caso, temos |a| = a. É imediato verificar que a ≤ a = |a|.
Caso (ii): a < 0.
Neste outro caso, temos |a| = − a. Como o módulo é uma distância, então devemos ter
|a| > 0
⟹ − a > 0
Como a < 0, segue que
⟹ − a > 0 e a < 0
⟺ a < 0 < − a
⟹ a < 0 < |a|
⟹ a < |a|
⟹ a ≤ |a|□
A seguir temos enunciados de outras propriedades necessárias para a resolução desta tarefa.
⋄ Propriedade 2: Se x, y são números reais, então |xy| = |x| · |y|.
Esta propriedade afirma que dados dois números reais, o produto dos módulos é igual ao módulo dos produtos.
⋄ Propriedade 3: Se a é um número real, então a² = |a|².
Esta é apenas um caso particular da propriedade 2, para x = y = a.
Demonstração da desigualdade |x| − |y| ≤ |x − y|
⋄ Proposição: Se x, y são números reais, então
|x| − |y| ≤ |x − y|.
⋄ Demonstração: Pela propriedade 1, temos
|xy| ≥ xy
Multiplicando os dois lados da desigualdade por −2, que é negativo, o sentido da desigualdade é invertido. Assim, devemos ter
⟺ − 2|xy| ≤ − 2xy
Somando x² + y² a ambos os membros, obtemos uma desigualdade equivalente:
⟺ x² + y² − 2|xy| ≤ x² + y² − 2xy
Reorganizando as parcelas em ambos os membros, temos:
⟺ x² − 2|xy| + y² ≤ x² − 2xy + y²
Pelas proposiçoes 2 e 3, podemos substituir acima no lado esquerdo
x² = |x|²
y² = |y|²
|xy| = |x|·|y|
e a desigualdade fica
⟺ |x|² − 2|x|·|y| + |y|² ≤ x² − 2xy + y²
Enxergamos ambos os lados da desigualdade como a expansão do quadrado de uma diferença (produtos notáveis):
⟺ (|x| − |y|)² ≤ (x − y)²
Pela propriedade 3, podemos substituir no lado direito
(x − y)² = |x − y|²
e a desigualdade fica
⟺ (|x| − |y|)² ≤ |x − y|² (∗)
Falta apenas alguns passos. Estudemos os casos possíveis:
Caso (i): |x| ≥ |y|.
Neste caso, temos uma desigualdade entre quadrados de dois números reais não-negativos, pois
|x| − |y| ≥ 0
|x − y| ≥ 0
Como a raíz quadrada é uma função crescente, o sentido da desigualdade se mantém para asbases da potência. Dessa forma, por (∗) concluímos
⟹ |x| − |y| ≤ |x − y|
Caso (ii): |x| < |y|.
Neste outro caso, temos
⟺ |x| − |y| < 0 (∗∗)
Se x = y, então ambos teriam módulos iguais e a diferença |x| − |y| seria igual a zero. Mas isso contradiz a hipótese que |x| − |y| < 0. Portanto, devemos ter x ≠ y. Então, segue que
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Dados dois números reais x, y, desejamos demonstrar que a diferença entre os módulos é menor ou igual que o módulo das diferenças, isto é
|x| − |y| ≤ |x − y|.
Para isso, utilizaremos algumas propriedades do módulo envolvendo desigualdades específicas.
Modulo ou valor absoluto de um número real
⋄ Definição: Seja a um número real. Definimos o módulo de a (notação |a|) através das duas sentenças a seguir:
Sendo a real, podemos também representar o módulo de a como a raiz quadrada de a²:
[tex]|a|=\sqrt{a^2}.[/tex]
Nesta última forma, enxergamos o módulo de a como a distância da imagem geométrica do número a até o zero na reta real.
Segue como consequência da própria definição que
|a| ≥ 0
para todo a real.
Algumas propriedades do módulo de um número real
⋄ Propriedade 1: Se a é um número real, então a ≤ |a|.
A verificação da proposição acima é relativamente simples. Pela definição, existem apenas dois casos a considerar.
Neste caso, temos |a| = a. É imediato verificar que a ≤ a = |a|.
Neste outro caso, temos |a| = − a. Como o módulo é uma distância, então devemos ter
|a| > 0
⟹ − a > 0
Como a < 0, segue que
⟹ − a > 0 e a < 0
⟺ a < 0 < − a
⟹ a < 0 < |a|
⟹ a < |a|
⟹ a ≤ |a| □
A seguir temos enunciados de outras propriedades necessárias para a resolução desta tarefa.
⋄ Propriedade 2: Se x, y são números reais, então |xy| = |x| · |y|.
Esta propriedade afirma que dados dois números reais, o produto dos módulos é igual ao módulo dos produtos.
⋄ Propriedade 3: Se a é um número real, então a² = |a|².
Esta é apenas um caso particular da propriedade 2, para x = y = a.
Demonstração da desigualdade |x| − |y| ≤ |x − y|
⋄ Proposição: Se x, y são números reais, então
|x| − |y| ≤ |x − y|.
⋄ Demonstração: Pela propriedade 1, temos
|xy| ≥ xy
Multiplicando os dois lados da desigualdade por −2, que é negativo, o sentido da desigualdade é invertido. Assim, devemos ter
⟺ − 2|xy| ≤ − 2xy
Somando x² + y² a ambos os membros, obtemos uma desigualdade equivalente:
⟺ x² + y² − 2|xy| ≤ x² + y² − 2xy
Reorganizando as parcelas em ambos os membros, temos:
⟺ x² − 2|xy| + y² ≤ x² − 2xy + y²
Pelas proposiçoes 2 e 3, podemos substituir acima no lado esquerdo
e a desigualdade fica
⟺ |x|² − 2|x| · |y| + |y|² ≤ x² − 2xy + y²
Enxergamos ambos os lados da desigualdade como a expansão do quadrado de uma diferença (produtos notáveis):
⟺ (|x| − |y|)² ≤ (x − y)²
Pela propriedade 3, podemos substituir no lado direito
e a desigualdade fica
⟺ (|x| − |y|)² ≤ |x − y|² (∗)
Falta apenas alguns passos. Estudemos os casos possíveis:
Neste caso, temos uma desigualdade entre quadrados de dois números reais não-negativos, pois
Como a raíz quadrada é uma função crescente, o sentido da desigualdade se mantém para as bases da potência. Dessa forma, por (∗) concluímos
⟹ |x| − |y| ≤ |x − y|
Neste outro caso, temos
⟺ |x| − |y| < 0 (∗∗)
Se x = y, então ambos teriam módulos iguais e a diferença |x| − |y| seria igual a zero. Mas isso contradiz a hipótese que |x| − |y| < 0. Portanto, devemos ter x ≠ y. Então, segue que
⟹ x − y ≠ 0
⟺ |x − y| ≠ 0
⟺ |x − y| > 0 (∗∗∗)
Portanto, por (∗∗) e (∗∗∗), temos
⟹ |x| − |y| < 0 < |x − y|
⟹ |x| − |y| < |x − y|
⟹ |x| − |y| ≤ |x − y|
como queríamos demonstrar.
Bons estudos! :-)