Designemos de q a seguinte sequência de algarismos: [tex]q = a_k\:a_{k-1}\:...\:a_4\:a_3[/tex]
Desse modo: [tex]m = q + (a_2\:a_1\:a_0)[/tex]
Perceba que n tem 3 algarismos a mais que m, desconsiderando a soma [tex](a_2\:a_1\:a_0)[/tex] de m . Desse modo, também desconsiderando a soma, n é [tex]2^3 = 8[/tex] vezes maior que m. Portanto, agora considerando a soma, n pode ser escrito como: [tex]n = 8q + (a_2\:a_1\:a_0)[/tex]
a) [tex]m \equiv r \pmod 7\\q + (a_2\:a_1\:a_0)\equiv r \pmod 7\\8(q + (a_2\:a_1\:a_0))\equiv 8r \pmod 7\\8q + 8(a_2\:a_1\:a_0)\equiv 8r \pmod 7\\8q + 7(a_2\:a_1\:a_0) + (a_2\:a_1\:a_0)\equiv 7r + r \pmod 7\\8q + (a_2\:a_1\:a_0)\equiv r \pmod 7\\n \equiv r \pmod 7[/tex]
b) Como a cada execução do algoritmo o resto se mantém, se pode deduzir o seguinte:
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Designemos de q a seguinte sequência de algarismos:
[tex]q = a_k\:a_{k-1}\:...\:a_4\:a_3[/tex]
Desse modo:
[tex]m = q + (a_2\:a_1\:a_0)[/tex]
Perceba que n tem 3 algarismos a mais que m, desconsiderando a soma [tex](a_2\:a_1\:a_0)[/tex] de m . Desse modo, também desconsiderando a soma, n é [tex]2^3 = 8[/tex] vezes maior que m. Portanto, agora considerando a soma, n pode ser escrito como:
[tex]n = 8q + (a_2\:a_1\:a_0)[/tex]
a)
[tex]m \equiv r \pmod 7\\q + (a_2\:a_1\:a_0)\equiv r \pmod 7\\8(q + (a_2\:a_1\:a_0))\equiv 8r \pmod 7\\8q + 8(a_2\:a_1\:a_0)\equiv 8r \pmod 7\\8q + 7(a_2\:a_1\:a_0) + (a_2\:a_1\:a_0)\equiv 7r + r \pmod 7\\8q + (a_2\:a_1\:a_0)\equiv r \pmod 7\\n \equiv r \pmod 7[/tex]
b) Como a cada execução do algoritmo o resto se mantém, se pode deduzir o seguinte:
[tex]1101001101001_2\\\equiv 1101001101_2 + 1_2\\\equiv (1101001_2 + 101_2) + 1_2\\\equiv ((1101_2 + 1_2) + 101_2) + 1_2\\\equiv (((1_2 + 101_2) + 1_2) + 101_2) + 1_2\\\equiv 1 + 5 + 1 + 5 + 1\\\equiv 13\\\equiv 7 + 6\\\equiv 6 \pmod 7[/tex]