(Aritmética: Sistema de numeração decimal – base 10 – resolução de equações diofantinas lineares)Sej.... Pergunta de ideia deLukyo

June 2023 1 104 Report

(Aritmética: Sistema de numeração decimal – base 10 – resolução de equações diofantinas lineares)

Sejam x, y os menores inteiros positivos tais que

[tex](10^9)x-53y=1[/tex]

Calcule os valores de x e y.

─────

Obs.: Não é necessário utilizar o algoritmo de Euclides, no entanto, você está livre para escolher o método que julgar mais adequado.

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gabrielcguimaraes

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Usando o algoritmo de Euclides:

[tex]10^9 = 53 \cdot 18.867.924+ 28\\53 = 28 + 25\\28 = 25 + 3\\25 = 3 \cdot 8 + 1[/tex]

Logo:

[tex]1 = 25 - 3 \cdot 8\\\\1 = 25 - (28 - 25) \cdot 8\\1 = 25 - (8 \cdot 28 - 8 \cdot 25)\\1 = 25 - 8 \cdot 28 + 8 \cdot 25\\1 = -8 \cdot 28 + 9 \cdot 25\\\\1 = -8 \cdot 28 + 9 (53 - 28)\\1 = -8 \cdot 28 + 9 \cdot 53 - 9 \cdot 28\\1 = -17 \cdot 28 + 9 \cdot 53\\\\1 = -17(10^9 - 53 \cdot 18.867.924) + 9 \cdot 53\\1 = - 17 \cdot 10^9 + 53 \cdot 320.754.708 + 9 \cdot 53\\1 = - 17 \cdot 10^9 + 53 \cdot 320.754.717[/tex]

Para deixar no formato da equação inicial:
[tex]1 = 10^9 \cdot (-17) - 53 \cdot (-320.754.717)[/tex]

Como a questão deseja os menores inteiros positivos como solução, deve-se somar e subtrair o MMC destes termos à expressão acima, e como estes termos são primos entre si, o MMC é diretamente [tex]10^9 \cdot 53[/tex]. Portanto:

[tex]1 = 10^9 \cdot (-17) - 53 \cdot (-320.754.717) + (10^9 \cdot 53) - (10^9 \cdot 53)\\1 = 10^9 \cdot (-17) - 53 \cdot (-320.754.717) + (10^9 \cdot 53) - (-10^9 \cdot (-53))\\1 = 10^9 \cdot (-17 + 53) - 53 \cdot (-320.754.717 + 10^9)\\1 = 10^9 \cdot 36 - 53 \cdot 679.245.283[/tex]

[tex](x, y) = (36, 679.245.283)[/tex]

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Lukyo Obrigado! Parabéns, você respondeu de duas formas diferentes!

gabrielcguimaraes Um milagre! Tive alguns problemas com Euclides, mas parece que no final deu certo.

Lukyo O importante é não desistir

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: [tex]n\cdot 3^{2n+1}\equiv 1\pmod{5}.[/tex]─────Instruções: Gentileza detalhar cada passo de sua resolução, caso contrário, sua resposta não será considerada. Obrigado.Gabarito: n ∈ {10q + r: r ∈ {2, 3} e q ∈ ℕ}.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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Lukyo August 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Encontre o menor valor natural para n, tal que, 4n(p − 1) + 1 é divisível por ppara todo p ∈ {3, 5, 7}.Obs: Gentileza não resolver por tentativa e erro (força bruta). Seja claro e detalhado em sua resposta.Gabarito: 79. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 3ⁿ ≡ n (mod 8)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n = 8q + 3, com q ∈ ℕ.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 3n (mod 7)─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.Gabarito: n ∈ {21q + r: r ∈ {10, 12, 20} e q ∈ ℕ}. [tex]\,[/tex]

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

Sejam x, y, n números naturais, x > y ≥ 1. Mostre que se n = x² + y², então 2n pode ser escrito como a soma de dois quadrados.─────Instruções: Esta tarefa pede a demonstração da existência de dois naturais a, b, tais que 2n = a² + b².Para demonstrar um quantificador existencial, você deve manipular algebricamente as expressões e explicitar quais são tais inteiros a, b, tais que 2n = a² + b².Atenção! Seja claro e detalhado em sua resposta. Demonstrações com passagens não justificadas serão consideradas incompletas e serão eliminadas. Poste sua resposta apenas se estiver convicto de que ela satisfaz todos estes requisitos.

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Lukyo July 2023 | 0 Respostas

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Congruência modular – Equações não-lineares]Resolva a equação de congruência modular, com n ∈ ℕ: 2ⁿ ≡ 2n + 1 (mod 3).─────Obs.: Resolver a equação é equivalente a descrever quais são todas as soluções para o problema, e mostrar que não existem outras soluções além das que você indicar.Gentileza demonstrar com detalhes e de forma clara, justificando cada passagem do seu desenvolvimento, caso contrário, a sua resposta não será considerada correta. Obrigado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Princípio da Indução Finita]Usando o Princípio da Indução Finita, mostre que [tex]1^3+2^3+\cdots +n^3=(1+2+\cdots +n)^2[/tex]para todo n natural, n ≥ 1.

[Teoria dos Números – Números naturais – Conjuntos finitos]Seja [tex]A[/tex] um subconjunto de [tex]\mathbb{N}.[/tex] Mostre que [tex]A[/tex] é finito se e somente se [tex]A[/tex] é limitado.

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[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.

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[Álgebra: Números complexos]Faça o cálculo de (1 + 2i)(1 + 3i) e depois deduza a igualdade: [tex]\dfrac{3\pi}{4}=\mathrm{arctg}(2)+\mathrm{arctg}(3).[/tex]

[Aritmética: Teoria dos Números – Números naturais – Números primos – Divisibilidade]Seja p um número primo.Mostre que [tex]p\mid (p-1)a^{p-1}+1,[/tex] para todo a natural, a ≥ 1.