(Aritmética: Sistema de numeração na base 2 – base binária – outro critério de divisibilidade por 5)
Seja [tex]n=a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1\,a_0[/tex] um número natural não-nulo escrito na base 2, formado por k+1 dígitos (também chamados bits), com k ≥ 2,
sendo [tex]a_k=1[/tex] e [tex]a_i\in\{0,\,1\},[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]
Considere [tex]m=(a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_2)-(a_1\,a_0).[/tex] Mostre que
a) Se [tex]m[/tex] é múltiplo de 5, então [tex]n[/tex] é múltiplo de 5.
b) Se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}5),[/tex] então [tex]n\equiv 4r\equiv - r~~\mathrm{(mod~}5).[/tex]
─────
Dica: Reescreva n na forma 4q + r.
Obs.: No enunciado desta tarefa, considere os naturais 2, 4 e 5 como escritos no sistema de numeração decimal (base 10).
Seja [tex]n=a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_1\,a_0[/tex] um número natural não-nulo escrito na base 2, formado por k+1 dígitos (também chamados bits), com k ≥ 2,
sendo [tex]a_k=1[/tex] e [tex]a_i\in\{0,\,1\},[/tex] para todo [tex]i\in\{0,\,1,\,\ldots,\,k-1\}.[/tex]
Considere [tex]m=(a_k\,a_{k-1}\,\ldots\,a_2)-(a_1\,a_0).[/tex] Mostre que
a) Se [tex]m[/tex] é múltiplo de 5, então [tex]n[/tex] é múltiplo de 5.
b) Se [tex]m\equiv r~~\mathrm{(mod~}5),[/tex] então [tex]n\equiv 4r\equiv - r~~\mathrm{(mod~}5).[/tex]
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Dica: Reescreva n na forma 4q + r.
Obs.: No enunciado desta tarefa, considere os naturais 2, 4 e 5 como escritos no sistema de numeração decimal (base 10).
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Sendo q a sequência de algarismos a seguir:
[tex]q = a_k\:a_{k-1}\:...\:a_3\:a_2[/tex]
Como n tem 2 algarismos a mais que m, logo a parte q de n é [tex]2^2 = 4[/tex] vezes maior que a parte q de m. Com isso já definido e somente ajustando o restante do número ([tex]a_1[/tex] e [tex]a_0[/tex]), se pode afirmar que:
[tex]m = q - (a_1\: a_0)\\n = 4q + (a_1\: a_0)[/tex]
a)
[tex]m \equiv 0 \pmod 5\\q - (a_1\: a_0) \equiv 0 \pmod 5\\4(q - (a_1\: a_0))\equiv 4 \cdot 0 \pmod 5\\4q - 4(a_1\: a_0) \equiv 0 \pmod 5\\4q - 4(a_1\: a_0) + 5(a_1\: a_0)\equiv 0 \pmod 5\\4q + (a_1\: a_0)\equiv 0 \pmod 5\\n \equiv 0 \pmod 5[/tex]
b)
[tex]m \equiv r \pmod 5\\q - (a_1\:a_0) \equiv r \pmod 5\\4(q - (a_1\:a_0)) \equiv 4r \pmod 5\\4q - 4(a_1\:a_0) \equiv 4r \pmod 5\\4q - 4(a_1\:a_0) + 5(a_1\:a_0) \equiv 4r -5r \pmod 5\\4q + (a_1\:a_0) \equiv -r \pmod 5\\n \equiv -r \pmod 5[/tex]