(Aritmética: Números naturais – Números primos – divisibilidade – congruência modular – Pequeno Teorema de Fermat)
a) Mostre que
[tex]18\mid (6n+5)^3-(6n-1)^3[/tex]
para todo [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex]
b) Indique para quais valores de [tex]n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,10\},[/tex] o número
[tex]\dfrac{(6n+5)^3-(6n-1)^3}{18}[/tex]
é primo.
─────
Obs.: Não é necessário demonstrar a primalidade de cada primo encontrado na alínea b), basta explicar que tais números são primos pois só têm dois divisores naturais distintos.
a) Mostre que
[tex]18\mid (6n+5)^3-(6n-1)^3[/tex]
para todo [tex]n\in\mathbb{N}.[/tex]
b) Indique para quais valores de [tex]n\in\{1,\,2,\,\ldots,\,10\},[/tex] o número
[tex]\dfrac{(6n+5)^3-(6n-1)^3}{18}[/tex]
é primo.
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Obs.: Não é necessário demonstrar a primalidade de cada primo encontrado na alínea b), basta explicar que tais números são primos pois só têm dois divisores naturais distintos.
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a) Usando o Princípio da Indução Finita
Caso base [tex]n = 1[/tex] :
[tex](6n + 5)^3 - (6n - 1) ^3\\= (6+5)^3 - (6 - 1)^3\\= 11^3 - 5^3\\= 1331 - 125\\= 1206\\= 18 \cdot 67\\18 \mid 18 \cdot 67[/tex]
A proposição [tex]p(1)[/tex] é válida.
Hipótese de indução: supor que dado um [tex]n[/tex] qualquer natural, a seguinte proposição é válida:
[tex]18 \mid(6n + 5)^3 - (6n - 1) ^3[/tex]
Inclusive, aproveito para extendê-la agora e deixar mais claro o posterior passo indutivo:
[tex](6n + 5)^3 - (6n - 1) ^3\\= (216n^3 +540n^2 + 450n + 125) - (216n^3 - 108n^2 + 18n - 1)\\= 648n^2 + 432n + 126[/tex]
Passo indutivo: demonstrar que a validade da proposição com [tex]n[/tex] implica na validade da proposição com [tex]n+1[/tex] ( [tex]p(n) \Longrightarrow p(n+1)[/tex] ):
[tex](6(n+1) + 5)^3 - (6(n+1) - 1) ^3\\= (6n + 11)^3 - (6n + 5)^3\\= (216n^3 + 1188n^2 + 2178n + 1331) - (216n^3 +540n^2 + 450n + 125)\\= 648n^2 + 1178n + 1206\\=(648n^2 + 746n+ 126) +432n + 1080[/tex]
Conforme a hipótese de indução, [tex]18 \mid 648n^2 + 432n + 126[/tex], portanto reescreverei essa porção como [tex]18x[/tex]:
[tex]=18x +432n + 1080\\= 18(x + 24n +60)\\18 \mid 18(x + 24n +60)[/tex]
Como a proposição é válida para o elemento mínimo dos naturais, e como [tex]p(n) \Longrightarrow p(n+1)[/tex], logo é válida [tex]\forall n \in \mathbb{N}[/tex].
b) Para o resultado da divisão ser primo, o denominador da fração deve poder ser escrito como o produto de 18 e somente um fator primo.
Conforme visto anteriormente, temos que o denominador é
[tex]648n^2 + 432n + 126 = 18(36n^2 + 24n + 7)[/tex]
Portanto [tex]36n^2 + 24n + 7[/tex] deve ser primo. Testemos os valores de 1 a 10:
[tex]36 \cdot 1^2 + 24 \cdot 1 + 7 = 67^*\\36 \cdot 2^2 + 24 \cdot 2 + 7 = 199^*\\36 \cdot 3^2 + 24 \cdot 3 + 7 = 403 = 13 \cdot 31\\36 \cdot 4^2 + 24 \cdot 4 + 7 = 679 = 7 \cdot 97\\36 \cdot 5^2 + 24 \cdot 5 + 7 = 1027 = 13 \cdot 79\\36 \cdot 6^2 + 24 \cdot 6 + 7 = 1447^*\\36 \cdot 7^2 + 24 \cdot 7 + 7 = 1939 = 7 \cdot 277\\36 \cdot 8^2 + 24 \cdot 8 + 7 = 2503^*\\36 \cdot 9^2 + 24 \cdot 9 + 7 = 3139 = 43 \cdot 73\\36 \cdot 10^2 + 24 \cdot 10 + 7 = 3847^*[/tex]
Os valores marcados são primos, ou seja, com [tex]n \in \{1,2,6,8,10\}[/tex]