(Álgebra: Relações binárias – relações de equivalência)
Seja R ⊆ ℤ* × ℤ* uma relação binária sobre os inteiros não-nulos.
Dizemos que R é uma relação de equivalência se e somente e as três condições abaixo são satisfeitas simultaneamente:
① R é reflexiva.
② R é simétrica.
③ R é transitiva.
Considere a relação
[tex]R=\{(a,\,b)\in\mathbb{Z}^*\times\mathbb{Z}^*:~|a\cdot b^{-1}|=2^k,~\mathrm{para~algum~}k\in\mathbb{Z}\}.[/tex]
Mostre que R é uma relação de equivalência.
Seja R ⊆ ℤ* × ℤ* uma relação binária sobre os inteiros não-nulos.
Dizemos que R é uma relação de equivalência se e somente e as três condições abaixo são satisfeitas simultaneamente:
① R é reflexiva.
② R é simétrica.
③ R é transitiva.
Considere a relação
[tex]R=\{(a,\,b)\in\mathbb{Z}^*\times\mathbb{Z}^*:~|a\cdot b^{-1}|=2^k,~\mathrm{para~algum~}k\in\mathbb{Z}\}.[/tex]
Mostre que R é uma relação de equivalência.
More Questions From This User See All
Lista de comentários
Verified answer
1. Evidentemente é reflexiva, já que [tex]\frac{a}{a} = 1 = 2^0[/tex].
2. Primeiramente, só por garantia, desejo me liberar dos transtornos de tratar com inteiros. Então, em vez de [tex]|a \cdot b^{-1}|[/tex] com [tex]a, b \in \mathbb{Z}[/tex], podemos tratar a relação como [tex]a \cdot b ^{-1}[/tex], com [tex]a, b \in \mathbb{N}[/tex].
Se:
[tex]\cfrac{a}{b} = 2^k \\\\a = b \cdot 2^k[/tex]
Então:
[tex]\cfrac{b}{a} = \cfrac{b}{b \cdot 2^k} = \cfrac{1}{2^k} = 2^{-k}[/tex]
Como [tex]k \in \mathbb{Z}[/tex], então R é simétrica.
3. Escolhamos dois pares de modo que:
[tex](a,b) \in R \\\cfrac{a}{b} = 2^k\\\\a = b \cdot 2^k\\\\\\(b,c) \in R\\\cfrac{b}{c} = 2^{k'}\\\\c = \cfrac{b}{2^{k'}}[/tex]
Queremos provar que [tex](a,c) \in R[/tex]:
[tex]\cfrac{a}{c} = \cfrac{b \cdot 2^k}{\cfrac{b}{2^{k'}}} = \cfrac{b \cdot 2^k}{1} \cdot \cfrac{2^{k'}}{b} = 2^{k + k'}[/tex]
Portanto R é uma relação transitiva, e também de equivalência.
(a,b) ∈ R (pertence à relação)
ou fica muito confuso quanto à pertencer aos reais?