Com base no processo de indução matemática, foi provada a propriedade.

Indução Matemática

Para n≥2, seja S(n) dá seguinte forma:

[tex]S(n) : 1+\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{n^2}\leq 2-\frac{1}{n}.[/tex]

Etapa base (n=2): S(2) diz que

[tex]1+\dfrac{1}{4}=\dfrac{5}{4}\leq\dfrac{3}{2}= 2-\dfrac{1}{2}[/tex]

e isso é verdade.

Etapa indutiva: Fixe algum k≥2 e suponha que S(k) é verdade. Resta mostrar que

[tex]S(k+1) : 1+\displaystyle\frac{1}{4}+\frac{1}{9}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}\leq 2-\frac{1}{k+1}[/tex]

Começando com o lado esquerdo de S(k+1),

[tex]\displaystyle\1+\frac{1}{4}+\cdots+\frac{1}{k^2}+\frac{1}{(k+1)^2}&\leq 2-\frac{1}{k}+\frac{1}{(k+1)^2}\quad\text{(de $S(k)$)}\\[1em]&= 2-\frac{1}{k+1}\left(\frac{k+1}{k}-\frac{1}{k+1}\right)\\[1em]&= 2-\frac{1}{k+1}\left(\frac{k^2+k+1}{k(k+1)}\right)(simplificar)\tag{simplify}\\[1em]& < 2-\frac{1}{k+1}.(\dagger)[/tex]

vemos que o lado direito de S(k+1) segue. Assim, S(k+1) é verdadeiro, completando assim o passo indutivo.

Como passei da etapa "simplificar" para a[tex](\dagger)[/tex] Passo? Bem, o numerador é  [tex]k^2+k+1[/tex] e o denominador é [tex]k^2+k[/tex]. Nós notamos que, [tex]k^2+k+1 > k^2+k[/tex](isso se resume a aceitar que 1>0). Desde que  [tex]\dfrac{1}{k+1}[/tex] está sendo multiplicado por algo maior que 1, isso significa que o que está sendo subtraído de 2 na etapa "simplificar" é maior do que o que está sendo subtraído de 2no (†) passo.

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