(Aritmética: Números primos – congruência modular – aritmética dos restos)
Sejam p₁, p₂ números naturais primos. Mostre que existe [tex]r\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}[/tex] tal que
[tex]p_2\not\equiv r\pmod{p_1}[/tex]
para todo p₂ < p₁.
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O símbolo ≢ significa "não é congruente a".
Sejam p₁, p₂ números naturais primos. Mostre que existe [tex]r\in\{1,\,2,\,\ldots,\,p-1\}[/tex] tal que
[tex]p_2\not\equiv r\pmod{p_1}[/tex]
para todo p₂ < p₁.
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O símbolo ≢ significa "não é congruente a".
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Correção do enunciado:
Sejam p₁, p₂ números naturais primos. Mostre que existe [tex]r \in \{1,\:2,\:\dots,\:p_1-1\}[/tex] tal que
[tex]p_2 \not\equiv r \pmod {p_1}[/tex]
Para todo p₂ < p₁.
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Com o intervalo de r que foi dado, é evidente que não pode ser adicionado ou subtraído a r algum múltiplo de p₁. Desse modo, p₂ somente pode ser congruente a si mesmo, mod p₁. E como r contém "1", e 1 não é primo, logo:
[tex]p_2 \not\equiv 1 \pmod {p_1}[/tex]
Para qualquer p₂, demonstrando o solicitado.