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Resposta:   Não há solução para o sistema.

Explicação passo a passo:

Resolver o sistema linear de congruências:

    [tex]\left\{\begin{array}{rcrlc} 4x&\!\!\!\!\equiv \!\!\!\! &12&\quad(\mathrm{mod~}24)&\quad\mathrm{(i)}\\ 10x&\!\!\!\!\equiv \!\!\!\!&5&\quad(\mathrm{mod~}75)&\quad\mathrm{(ii)} \end{array}\right.[/tex]

O Teorema Chinês do Resto só garante a existência de solução se os módulos das classes de cada equação forem dois a dois primos entre si.

No caso desta tarefa, temos mdc(24, 75) = 3 ≠ 1, isto é, os módulos não são primos entre si.

Sendo assim, vamos tentar reescrever as congruências, de modo a verificar se é possível aplicar o teorema.

Da equação (i), segue que

    [tex]\begin{array}{l}4x\equiv 12\quad(\mathrm{mod~24})\\\\ \Longleftrightarrow\quad 4x\equiv 12\quad (\mathrm{mod~}3\cdot 8)\end{array}[/tex]

Como mdc(3, 8) = 1, devemos ter

    [tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} 4x\equiv 12\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 4x\equiv 12\quad(\mathrm{mod~}8)\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} 4x\equiv 0\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 4x\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}8)\end{array}\right.\end{array}[/tex]

Multiplicando as duas equações por 5, temos

    [tex]\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{ll} 20x\equiv 0&\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 20x\equiv 20&\quad(\mathrm{mod~}8)\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{lc} 20x\equiv 0\quad (\mathrm{mod~}3)&\quad\mathrm{(iii)}\\ 20x\equiv 4\quad(\mathrm{mod~}8)&\quad\mathrm{(iv)}\end{array}\right.\end{array}[/tex]

Da equação (ii), segue que

    [tex]\begin{array}{l}10x\equiv 5\quad(\mathrm{mod~75})\\\\ \Longleftrightarrow\quad 10x\equiv 5\quad (\mathrm{mod~}3\cdot 25)\end{array}[/tex]

Como mdc(3, 25) = 1, devemos ter

    [tex]\begin{array}{l}\Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} 10x\equiv 5\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 10x\equiv 5\quad(\mathrm{mod~}25)\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{ll} 10x\equiv 2\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 10x\equiv 5\quad(\mathrm{mod~}25)\end{array}\right.\end{array}[/tex]

Multiplicando as duas equações por 2, temos

    [tex]\begin{array}{l}\Longrightarrow\quad \left\{\begin{array}{l} 20x\equiv 4\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 20x\equiv 10\quad(\mathrm{mod~}25)\end{array}\right.\\\\ \Longleftrightarrow\quad \left\{\begin{array}{llc} 20x\equiv 1&\quad (\mathrm{mod~}3)&\qquad\mathrm{(v)}\\ 20x\equiv 10&\quad(\mathrm{mod~}25)&\qquad\mathrm{(vi)}\end{array}\right.\end{array}[/tex]

Agora, observe as equações (iii) e (v):

    [tex]\left\{\begin{array}{l} 20x\equiv 0\quad (\mathrm{mod~}3)\\ 20x\equiv 1\quad(\mathrm{mod~}3)\end{array}\right.[/tex]

Como [tex]\overline{0}[/tex] e [tex]\overline{1}[/tex] são duas classes de equivalência distintas em [tex]\mathbb{Z}_3,[/tex] não é possível resolvê-las simultaneamente.

Portanto, o sistema não tem solução.

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Bons estudos!