[Análise Combinatória e Probabilidade]
Seja E um eneágono regular no plano e A o conjunto de todos os triângulos que podem ser formados pelos vértices de E.
Calcule a probabilidade de, ao escolher-se aleatoriamente três triângulos em A, exatamente dois deles sejam isósceles.
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Obs.: Um eneágono regular é um polígono regular que possui 9 (nove) lados/vértices.
Seja E um eneágono regular no plano e A o conjunto de todos os triângulos que podem ser formados pelos vértices de E.
Calcule a probabilidade de, ao escolher-se aleatoriamente três triângulos em A, exatamente dois deles sejam isósceles.
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Obs.: Um eneágono regular é um polígono regular que possui 9 (nove) lados/vértices.
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O eneágono tem 9 vértices. Então, o número de triângulos possíveis será o total de combinações de 9 elementos distintos, tomados 3 a 3. Isto é:
[tex]C_{9,3}=\frac{9!}{3!(9-3)!}=84[/tex]
Para encontrarmos a probabilidade solicitada, precisamos saber quantos triângulos, dentre os 84 possíveis, são isósceles (dois lados iguais). A imagem anexa pode nos ajudar.
Vamos olhar para o ponto A. Os triângulos isósceles formados a partir dele são AIB, AHC e AFE, totalizando 3.
Também precisamos buscar pelos triângulos equiláteros (todos os lados iguais), que são um caso particular dos isósceles. Olhando novamente para o ponto A, vemos que o único triângulo equilátero do qual faz parte é o ADG, que também é o único dos pontos D e G! Ou seja, a cada três pontos distintos, temos apenas um triângulo equilátero único.
Como temos 9 vértices, concluímos que o total de triângulos isósceles é 3 x 9 = 27. Acrescentando os 9/3 = 3 equiláteros, ficamos com um total de 27 + 3 = 30 casos favoráveis.
Então, a probabilidade de selecionar, individualmente, um triângulo isósceles dentre todos os possíveis é 30/84 = 5/14.
O que queremos é a probabilidade de, ao escolher-se aleatoriamente três triângulos, exatamente dois deles serem isósceles. Com base na distribuição Binomial, fazemos:
[tex]C_{3,2}.(5/14)^2.(1-5/14)^1 = 675/14^3 = 675/2744 = 0,246[/tex]
Resposta: 0,246 ≅ 24,6%
Olá!
Resposta:
Primeiro, é importante notar que a contagem de triângulos isósceles deve descontar as contagens repetidas de um mesmo triângulo equilátero, pois um triângulo equilátero é também um triângulo isósceles.
Para calcular o número total de triângulos possíveis, temos que considerar as combinações de 9 vértices, tomados 3 a 3. Isso dá C(9,3) = 84. Para calcular o número de triângulos isósceles, consideramos que cada vértice pode formar 3 triângulos isósceles (com dois lados iguais), menos um triângulo equilátero (com todos os lados iguais). Então, temos 3 * 9 - 9/3 = 27 triângulos isósceles.
Para calcular a probabilidade solicitada, precisamos considerar que ao escolher três triângulos aleatoriamente, exatamente dois deles devem ser isósceles. Isso pode ser feito usando a distribuição binomial:
P(X = 2) = C(3,2) * (27/84)^2 * (57/84)^1 = (3/14) * (27/84)^2 * (57/84)
onde X é a variável aleatória que representa o número de triângulos isósceles escolhidos.
Então, a probabilidade é (3/14) * (27/84)^2 * (57/84) ≈ 0.246 ou 24,6%
Espero ter ajudado!
Se puder, dê o coraçãozinho e sua nota. Muito obrigado!