2) Quais dos seguintes vetores abaixo formam uma base de P2?
I) p1 = 2t2 + t – 4, p2 = t2 – 3t + 1
II) p1 = 1, p2 = t, p3 = t2
III) p1 = 2, p2 = 1 – x, p3 = 1 + x2
IV) p1 = 1 + x + x2, p2 = x + x2, p3 = x2
V) p1 = 1 + x, p2 = x – x2, p3 = 1 + 2x – x2
Escolha uma opção:
a. II, III e IV
b. III e V
c. II e IV
d. I, II e III
e. II, III e V
I) p1 = 2t2 + t – 4, p2 = t2 – 3t + 1
II) p1 = 1, p2 = t, p3 = t2
III) p1 = 2, p2 = 1 – x, p3 = 1 + x2
IV) p1 = 1 + x + x2, p2 = x + x2, p3 = x2
V) p1 = 1 + x, p2 = x – x2, p3 = 1 + 2x – x2
Escolha uma opção:
a. II, III e IV
b. III e V
c. II e IV
d. I, II e III
e. II, III e V
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Resposta:
A definição de uma base de P2 é um conjunto de vetores que é linearmente independente e que gera todo o espaço vetorial P2. Para verificar se cada conjunto de vetores é uma base, precisamos verificar se eles são linearmente independentes e se geram P2.
I) p1 = 2t2 + t – 4, p2 = t2 – 3t + 1
Esses vetores não formam uma base, pois eles não geram polinômios de grau 1, que também estão em P2.
II) p1 = 1, p2 = t, p3 = t2
Esses vetores formam uma base, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço vetorial P2.
III) p1 = 2, p2 = 1 – x, p3 = 1 + x2
Esses vetores não formam uma base, pois p3 não pode ser gerado a partir de uma combinação linear de p1 e p2.
IV) p1 = 1 + x + x2, p2 = x + x2, p3 = x2
Esses vetores formam uma base, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço vetorial P2.
V) p1 = 1 + x, p2 = x – x2, p3 = 1 + 2x – x2
Esses vetores formam uma base, pois eles são linearmente independentes e geram todo o espaço vetorial P2.
Portanto, a opção correta é a letra e) II, III e V.