Sejam os vetores u1 = (2, –1, 0), u2 = (–1, 3, 0) e u3 = (3, 5, 5). É correto afirmar que:
a) u3 é combinação linear de u1 e u2
b) u1, u2 e u3 são linearmente independentes.
c) u1 é combinação linear de u2 e u3
d) u2 é combinação linear de u1 e u3
e) u1, u2 e u3 não geram IR3
a) u3 é combinação linear de u1 e u2
b) u1, u2 e u3 são linearmente independentes.
c) u1 é combinação linear de u2 e u3
d) u2 é combinação linear de u1 e u3
e) u1, u2 e u3 não geram IR3
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Para resolver essa questão, devemos analisar se os vetores são linearmente independentes e/ou se algum deles é combinação linear dos outros.
a) Para que u3 seja uma combinação linear de u1 e u2, temos que encontrar escalares k1 e k2 tais que:
u3 = k1u1 + k2u2
(3, 5, 5) = k1(2, –1, 0) + k2(–1, 3, 0)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, encontramos k1 = 1 e k2 = 2. Portanto, u3 é combinação linear de u1 e u2.
b) Para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos tentar escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois:
u1 = k1u2 + k2u3
(2, –1, 0) = k1(–1, 3, 0) + k2(3, 5, 5)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, não encontramos solução. Portanto, u1, u2 e u3 são linearmente independentes.
c) Para que u1 seja uma combinação linear de u2 e u3, temos que encontrar escalares k1 e k2 tais que:
u1 = k1u2 + k2u3
(2, –1, 0) = k1(–1, 3, 0) + k2(3, 5, 5)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, não encontramos solução. Portanto, u1 não é combinação linear de u2 e u3.
d) Para que u2 seja uma combinação linear de u1 e u3, temos que encontrar escalares k1 e k2 tais que:
u2 = k1u1 + k2u3
(–1, 3, 0) = k1(2, –1, 0) + k2(3, 5, 5)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, não encontramos solução. Portanto, u2 não é combinação linear de u1 e u3.
e) Como u1, u2 e u3 são linearmente independentes e possuem 3 coordenadas cada, eles geram IR3. Para resolver essa questão, devemos analisar se os vetores são linearmente independentes e/ou se algum deles é combinação linear dos outros.
a) Para que u3 seja uma combinação linear de u1 e u2, temos que encontrar escalares k1 e k2 tais que:
u3 = k1u1 + k2u2
(3, 5, 5) = k1(2, –1, 0) + k2(–1, 3, 0)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, encontramos k1 = 1 e k2 = 2. Portanto, u3 é combinação linear de u1 e u2.
b) Para verificar se os vetores são linearmente independentes, vamos tentar escrever um dos vetores como combinação linear dos outros dois:
u1 = k1u2 + k2u3
(2, –1, 0) = k1(–1, 3, 0) + k2(3, 5, 5)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, não encontramos solução. Portanto, u1, u2 e u3 são linearmente independentes.
c) Para que u1 seja uma combinação linear de u2 e u3, temos que encontrar escalares k1 e k2 tais que:
u1 = k1u2 + k2u3
(2, –1, 0) = k1(–1, 3, 0) + k2(3, 5, 5)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, não encontramos solução. Portanto, u1 não é combinação linear de u2 e u3.
d) Para que u2 seja uma combinação linear de u1 e u3, temos que encontrar escalares k1 e k2 tais que:
u2 = k1u1 + k2u3
(–1, 3, 0) = k1(2, –1, 0) + k2(3, 5, 5)
Resolvendo o sistema linear formado pelas coordenadas dos vetores, não encontramos solução. Portanto, u2 não é combinação linear de u1 e u3.
e) Como u1, u2 e u3 são linearmente independentes e possuem 3 coordenadas cada, eles geram IR3. Portanto, a alternativa correta é a letra B.