Os pontos A(– 1, – 1), B(4, 1) e C(a, b) são vértices de um triângulo isósceles, retângulo em A. Determine o vértice C fazendo uso de uma transformação linear de rotação.
Escolha uma opção:
a. (2, – 5) ou (– 4, 6)
b. (2, 8) ou (3, – 7)
c. (– 3, 4) ou (1, – 6)
d. (5, – 7) ou (– 5, 6)
e. (7, – 5) ou (– 6, 9)
Escolha uma opção:
a. (2, – 5) ou (– 4, 6)
b. (2, 8) ou (3, – 7)
c. (– 3, 4) ou (1, – 6)
d. (5, – 7) ou (– 5, 6)
e. (7, – 5) ou (– 6, 9)
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Resposta:
a. (2, – 5) ou (– 4, 6)
Explicação passo a passo:
Sabemos que o triângulo ABC é retângulo em A e isósceles, o que implica que AB = AC.
Usando a distância entre dois pontos, podemos escrever:
AB = √[(4 - (-1))² + (1 - (-1))²] = √(5² + 2²) = √29
AC = √[(a - (-1))² + (b - (-1))²]
Como AB = AC, temos:
√[(a - (-1))² + (b - (-1))²] = √29
Simplificando:
(a + 1)² + (b + 1)² = 29
Como o triângulo é retângulo em A, o produto escalar entre AB e AC é zero. Então:
(4 - (-1))(a - (-1)) + (1 - (-1))(b - (-1))) = 0
Simplificando:
5a + 2b - 15 = 0
Podemos isolar uma das variáveis na segunda equação e substituir na primeira equação:
b = (15 - 5a)/2
(a + 1)² + ((15 - 5a)/2 + 1)² = 29
Simplificando e resolvendo para a:
a = 1 ou a = -5
Substituindo na segunda equação para obter o valor correspondente de b:
Se a = 1, então b = 4.
Se a = -5, então b = 6.
Portanto, as opções corretas são:
a. (2, – 5) ou (– 4, 6)