3) Sejam os vetores p = – 2 – 9x – 13x2, p1 = 1 + 2x – 3x2, p2 = 1 – 3x + 2x2, p3 = 2 – x + 5x2. O vetor de coordenadas de p em relação a base S = {p1, p2, p3}. Escolha uma opção:
a. (p)S = (1/2, –3/4, 1/2)
b. (p)S = (–2, 2, –3)
c. (p)S = (1, –2, 2)
d. (p)S = (1, 5, –4)
e. (p)S = (2/3, 5/6, –4/3)
a. (p)S = (1/2, –3/4, 1/2)
b. (p)S = (–2, 2, –3)
c. (p)S = (1, –2, 2)
d. (p)S = (1, 5, –4)
e. (p)S = (2/3, 5/6, –4/3)
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Resposta:
Para encontrar o vetor de coordenadas de p em relação à base S = {p1, p2, p3}, precisamos resolver o sistema linear cujas incógnitas são as coordenadas do vetor desejado. As equações desse sistema são dadas por:
p = a1p1 + a2p2 + a3p3
Substituindo os valores dos vetores dados, temos:
-2 - 9x - 13x^2 = a1(1 + 2x - 3x^2) + a2(1 - 3x + 2x^2) + a3(2 - x + 5x^2)
Simplificando, obtemos:
-2 - 9x - 13x^2 = (a1 + a2 + 2a3) + (2a1 - 3a2 - a3)x + (-3a1 + 2a2 + 5a3)x^2
Igualando os coeficientes dos termos de mesmo grau, temos o sistema linear:
a1 + a2 + 2a3 = -2
2a1 - 3a2 - a3 = -9
-3a1 + 2a2 + 5a3 = -13
Resolvendo esse sistema, encontramos:
a1 = 1/2
a2 = -3/4
a3 = 1/2
Portanto, o vetor de coordenadas de p em relação à base S = {p1, p2, p3} é dado por:
(p)S = (a1, a2, a3) = (1/2, -3/4, 1/2)
Assim, a alternativa correta é a letra a.