Ache o Modulo de: A) i^i B) 1^i C) (1-i) ^ (2-2.i) D) (-1) ^ ( raiz quadrada de 2 ).... Pergunta de ideia deRonny06

January 2020 1 128 Report

Ache o Modulo de:

A) i^i

B) 1^i

C) (1-i) ^ (2-2.i)

D) (-1) ^ ( raiz quadrada de 2 )

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FelipeQueiroz Só agora percebi que é pra calcular o módulo dos complexos, não o seu valor xD Desculpa a demora na resolução dessa, mas eu me distraí totalmente

Vamos usar algumas identidades nessa questão:

$1- \ e^{i\theta} = \cos(\theta)+i\mathrm{sen}(\theta)$

(a) Antes de me formar, eu tava pensando exatamente nessa expressão, $i^i$ , e pensando no valor dela. Vamos usar a identidade 1 e as propriedades das potências pra ver o que encontramos:

$i^i = (e^{i\frac\pi2})^i=e^{-\frac\pi2}$

Como estamos interessado apenas no módulo do número, que é um número real positivo, temos que

$|i^i| = e^{-\frac\pi2}$

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(b) 1 elevado a qualquer número é 1, mas vamos ver esse caso particular. Primeiramente vamos ver com um número real qualquer, que chamaremos $a$

$a^i = (e^{\ln a})^i=e^{i\ln a} \ (\mathrm{De} \ 1)\\ \boxed{a^i = \cos(\ln a) + i\mathrm{sen}(\ln a)}$

Note, ainda, que $a^i$ é um número complexo "na forma algébrica": tem parte real, o cosseno do ln a, e parte imaginária, o seno do ln a, então podemos calcular seu módulo da forma usual:

$|a^i|=\sqrt{\cos^2(\ln a)+\mathrm{sen}^2(\ln a)}=\sqrt1\\ \boxed{|a^i| = 1}$

Agora que temos uma expressão genérica, que vale pra qualquer real, podemos fazer $a=1$ e concluir o que suspeitávamos

$\boxed{|1^i|=1}$

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(c) Vou pular algumas minúcias, como passar um número complexo na forma algébrica pra forma polar. Essas coisas você faz aí

$(1-i)^{2-2i} = ((\sqrt2.e^{-i\frac\pi4})^2)^{1-i}=(2.e^{-i\frac\pi2})^{1-i}\\ (2.e^{-i\frac\pi2})^{1-i} = (2.e^{-i\frac\pi2})^1.(2.e^{-i\frac\pi2})^{-i}=\dfrac{2.e^{-i\frac\pi2}.e^{-\frac\pi2}}{2^i}\\ \\ |(1-i)^{2-2i}|=\left| \dfrac{2.e^{-\frac\pi2}.e^{-i\frac\pi2}}{2^i} \right| = \dfrac{|2|.|e^{-\frac\pi2}|.|e^{-i\frac\pi2}|}{|2^i|}=\dfrac{2.e^{-\frac\pi2}.1}{1}\\ \\ \boxed{|(1-i)^{2-2i}|=2.e^{-\frac\pi2}}$

Isso tá meio louco, meio complicado pra entender? Se estiver, saiba que está certo. Até eu achei complicado. E sobre o que fiz na terceira linha de passos, de separar o módulo do produto no produto dos módulos, você pode fazer isso normalmente, ok? Não se preocupe em calcular toda a expressão, já que ele quer apenas o módulo dela.

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(d) Quando olhei pela primeira vez pra esse item pensei que ele tava meio estranho, mas depois pensei melhor... e vi que estava certo, mas pelo motivo errado. A primeira estranheza foi ver um número negativo elevado a um irracional. Isso não é bem definido no ensino médio, mas nos números complexos isso faz sentido. Só não deixa de ser estranho :P

$(-1)^{\sqrt2} =(e^{i\pi})^{\sqrt2}=e^{i.\sqrt2\pi}\\ (-1)^{\sqrt2}= \cos (\sqrt2.\pi) + i\mathrm{sen} ( \sqrt2.\pi)$

Esse resultado estranho é o valor da potência, mas ele não quer saber seu valor, e sim o módulo. Oras, podemos proceder como no item (b), donde encontramos que

$\boxed{(-1)^{\sqrt2} = 1}$

Edição: corrigi o valor de -1. Na verdade, $-1=e^{i\pi}$ . O que tava escrito antes, $e^{i\frac\pi2}$ , vale i. Felizmente isso não alterou o resultado final, o módulo, que ainda continua sendo 1.

1 votes Thanks 1

Ronny06 Por Acaso entendi tudo Mestre Felipe muito obrigado !! eu estava pensando em aplicar o logaritmo natural em ambos os lados, so oooohh, acabei me engasgando num lugar sem saida ..

Ronny06 e impressionante como voce desenvolver essas identidades, vou ate anota-las pois acredito que serao uteis tanto para mim como para as pessoas futuras que estarao a ver Materia desse genero.

FelipeQueiroz Sim sim! Todas elas são bastante úteis! É bom anotá-las mesmo, pois, talvez, você precisará delas xD

Ronny06 entao concluimos que -1= e^ pi/2* i ?? do intem em D. Segundo, imaginemos que ao inves de (-1) fosse (-2) como seria? e Sera que (-1) elevado a essa potencia dara =1 mesmo? se fizermos na maquina?

FelipeQueiroz Opa, corrigi a solução xD e^{i.pi} vale -1, não e^{i.pi/2}

FelipeQueiroz Vamos tomar um número complexo z qualquer, de módulo p e argumento s (já que não tem teta no teclado). Ele pode ser escrito na forma polar como z = p( cos(s) + i.sen(s) ), porém aquela expressão entre parênteses é igual a e^{i.s}, daí podemos escrever z = p.e^{i.s}. Se fosse -2, por exemplo, teríamos módulo 2 e argumento pi, daí -2 = 2.e^{i.pi}.

FelipeQueiroz Por fim, eu não tenho ideia do que aconteceria se você resolvesse calcular aquela potência na máquina, até porque não conheço nenhuma que faça cálculos desse tipo, mas acho que o módulo seria 1 sim. A potência não valeria 1, mas seu módulo sim.

Ronny06 So por curiosidade, e possivel provar, que -1= e^ -pi*i ?

FelipeQueiroz Sim sim! É possível provar que e^{i.pi} = -1. Para isso, você tem que saber a série de Taylor das funções seno, cosseno e e^x. Sabendo dessas três coisas, basta fazer x = i.pi e se chega nessa igualdade :D