Resolvas as equacoes: A) e^ i.x= cos(pi*x) B) sin Z= pi*i C) sin h(i*z)= -i.... Pergunta de ideia deRonny06

January 2020 1 140 Report

Resolvas as equacoes:

A) e^ i.x= cos(pi*x)

B) sin Z= pi*i

C) sin h(i*z)= -i

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O que essa questão tem de complicada ela tem de interessante. Fez com que eu revisasse umas coisas de variáveis complexas e me fez ver outras relacionadas a isso. Só tenho a agradecer :D

Antes de começar a resolver, vamos escrever algumas identidades que nos serão úteis

$1- \mathrm{sen}(z) = \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i}\\ 2- \mathrm{senh}(z) =\dfrac{e^z-e^{-z}}{2}\\ 3- e^{iz} = \cos(z)+i\mathrm{sen}(z)$

Agora sim, vamos lá!

(a) $e^{ix} = \cos(x.\pi)\Rightarrow \cos(x)+i\mathrm{sen}(x) = \cos(x.\pi)\\ i\mathrm{sen}(x) = \cos(x.\pi)-\cos(x)$

De um lado temos um número imaginário puro e do outro temos um número real. Os dois serão iguais se, e só se, o número real e o número que acompanha o $i$ sejam 0, ou seja:

$\left\{ \begin{array}{l}\mathrm{sen}(x)=0\\ \cos{x.\pi}-\cos(x)=0 \end{array} \right.$

Nesse ponto, pode-se pensar que $x=2k.\pi, \ k\in\mathbb{Z}$ , porém o único valor favorável é de $k=0$ ; se $k\neq0$ teríamos que calcular $\cos(2k.\pi^2)$ , o que, convenhamos, não deve ser nada prático.

Portanto $\boxed{S=\{0\}}$

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(b) $\mathrm{sen}(z) = i\pi\Rightarrow \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2i} = i\pi \ (\mathrm{Fazendo} \ x=e^{iz})\\ x-\dfrac1x = -2\pi\Rightarrow x^2+2\pi.x-1 = 0\\ \\ \\ \Delta= 4\pi^2+4=4(\pi^2+1)\\ x=\dfrac{-2\pi\pm2\sqrt{\pi^2+1}}{2}\Rightarrow x= -\pi\pm\sqrt{\pi^2+1}\\ \\ \\ e^{iz}=-\pi\pm\sqrt{\pi^2+1} \\ iz=\ln(-\pi\pm\sqrt{\pi^2+1})\\ \boxed{z=-i.\ln(-\pi\pm\sqrt{\pi^2+1})}$

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(c) $\mathrm{senh}(iz) = -i\Rightarrow \dfrac{e^{iz}-e^{-iz}}{2} = -i\\ \dfrac{\cos(z)+i\mathrm{sen}(z)-(\cos(z)-i\mathrm{sen}(z))}{2}=-i\\ i\mathrm{sen}(z)=-i\Rightarrow \mathrm{sen}(z)=-1\\ \\ \boxed{z=\frac{3\pi}{2}+2k\pi}$

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FelipeQueiroz Passei muito tempo fora, não sei como edita. Vai ficar meio zoado assim mesmo

Ronny06 Nao tem problema! alem de que esta tudo bem. gostei da sua didactica de resolucao. Gostei tambem por que minhas questoes acredito eu serem do nivel " complexas " se fores a observar(quase nem sao resolvidas Lol) e muitos usuarios fogem ou ne chegam a dar uma ideia da resolucao. Parabens Cara ;)

FelipeQueiroz Poxa, não tem de quê! Eu que agradeço! Gosto de brincar com números complexos de vez em quando, mas não me lembrava de uma fórmula ou outra. Essa sua questão, assim como as outras três (das quais respondi uma e vou responder a outra amanhã), fizeram com que relesse sobre esse assunto e me lembrar do que estava quase esquecido :D

Ronny06 Felipe, uma pergunta meio particular. Eu estiver fazendo uma pesquisa e estava tentando ver alguma formula que determine o conjunto imagaens do subconjunto do plano complexo para funcoes elementares. Voce tem algum conhecimento desse assunto? Por exemplo darem uma funcao tipo w= z-1/z+2 e pedirem para calcular o conjunto de imagem, existiria alguma formula para tal? Acredito que exista para funcoes elementares no plano Complexo, so que de facto sao pouco conhecidas ou expostas.

FelipeQueiroz Como disse no comentário acima, essa sua questão fez com que eu relesse sobre o assunto, em particular, sobre a função seno no plano complexo. O que vi me deixou de queixo caído, pois a representação do plano complexo que usamos, um eixo real e outro complexo, funciona para algumas coisas, mas para funções teríamos que partir pro R^4, pois precisaríamos de dois eixos reais, para a variável z, e outros dois pra imagem.

FelipeQueiroz Te respondendo, eu não tenho conhecimento sobre isso, portanto não sei se existe uma forma pra calcular a imagem de uma função C->C, mas deve existir alguma forma sim, como vi, de certo modo, com a função seno ontem.

Ronny06 Obrigadao !! Eu acho que e por ai onde a Matematica comeca a ultrapassar as suas expectativas, dei uma olhada na net, e realmente e muito interessante, so nao sei se esse tipo de assunto e abordado, talvez para quem esteja a fazer uma Matematica Pura.