Achar os logaritmos dos numerous seguintes: A) e; B) -i; C)3-2i D) i^i.... Pergunta de ideia deRonny06

January 2020 1 107 Report

Achar os logaritmos dos numerous seguintes:

A) e;
B) -i;
C)3-2i
D) i^i

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Lukyo

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Dado um número complexo $\mathsf{z}$ na forma polar (ou trigonométrica)

$\mathsf{z=|z|\cdot e^{i\theta}=|z|\cdot (cos\,\theta+i\cdot sen\,\theta)}$

sendo

$\mathsf{|z|=\sqrt{Re^2(z)+Im^2(z)}}$ o módulo,

$\theta$ o argumento do número complexo $(-\pi<\theta\le \pi),$

então o logaritmo de $\mathsf{z}$ é dado por

$\boxed{\begin{array}{c}\mathsf{\ell n(z)=\ell n|z|+i\cdot \theta} \end{array}}$

__________

a) $\mathsf{z=e}$

$\mathsf{z=e\cdot e^{i\cdot 0}}\quad\longrightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{|z|=e}\\\\ \mathsf{\theta=0} \end{array}\right.$

Então,

$\mathsf{\ell n(e)=\ell n(e)+i\cdot 0}\\\\ \mathsf{\ell n(e)=1+0i\qquad\quad\checkmark}$

________

b) $\mathsf{z=-i}$

$\mathsf{z=1\cdot e^{-i\,\cdot\begin{array}{l}\!\!\mathsf{\frac{\pi}{2}} \end{array}}}\quad\longrightarrow\quad\left\{\!\begin{array}{l} \mathsf{|z|=1}\\\\ \mathsf{\theta=-\,\dfrac{\pi}{2}} \end{array}\right.$

Então,

$\mathsf{\ell n(-i)=\ell n(1)-i\cdot \dfrac{\pi}{2}}\\\\\\ \mathsf{\ell n(-i)=0-\dfrac{\pi}{2}\,i\qquad\quad\checkmark}$

________

c) $\mathsf{z=3-2i}$

$\mathsf{|z|=\sqrt{3^2+2^2}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{9+4}}\\\\ \mathsf{|z|=\sqrt{13}}\\\\\\\\ \mathsf{tg\,\theta=\dfrac{-2}{3}}\\\\\\ \mathsf{\theta=arctg\!\left(\dfrac{-2}{3}\right)}$

$\mathsf{\theta=-\,arctg\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\approx -0,\!588}$

Então,

$\mathsf{\ell n(3-2i)=\ell n\big(\sqrt{13}\big)-i\cdot arctg\!\left(\dfrac{2}{3}\right )}\\\\\\ \mathsf{\ell n(3-2i)=\ell n\big(13^{1/2}\big)-arctg\!\left(\dfrac{2}{3}\right )\cdot i}\\\\\\ \mathsf{\ell n(3-2i)=\dfrac{1}{2}\,\ell n(13)-arctg\!\left(\dfrac{2}{3}\right)\cdot i}\\\\\\ \mathsf{\ell n(3-2i)\approx 1,\!282-0,\!588\,i\qquad\quad\checkmark}$

________

d) $\mathsf{z=i^i}$

$\mathsf{z=\big(e^{i\,\cdot\!\! \begin{array}{l}\mathsf{\frac{\pi}{2}}\end{array}}\!\!\big)^i}\\\\ \mathsf{z=e^{i^2\,\cdot\!\! \begin{array}{l}\mathsf{\frac{\pi}{2}}\end{array}}}\\\\ \mathsf{z=e^{(-1)\,\cdot\!\! \begin{array}{l}\mathsf{\frac{\pi}{2}}\end{array}}}\\\\ \mathsf{z=e^{-\!\!\!\begin{array}{l}\mathsf{\frac{\pi}{2}}\end{array}}}$

Aqui é simples, pois z é um número real:

$\mathsf{\ell n(i^i)=\ell n\big(e^{-\!\!\!\begin{array}{l}\mathsf{\frac{\pi}{2}}\end{array}}\!\!\big)}\\\\ \mathsf{\ell n(i^i)=-\,\dfrac{\pi}{2}\cdot \ell n(e)}\\\\\\ \mathsf{\ell n(i^i)=-\,\dfrac{\pi}{2}\cdot 1}\\\\\\ \mathsf{\ell n(i^i)=-\,\dfrac{\pi}{2}\qquad\quad\checkmark}$

Bons estudos! :-)

Tags: logaritmo número complexo

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Ronny06 Muito Obrigado !! Grande Resolucao !! Sim acredito que seja Logaritmo Neperiano, faria mais sentido ne xD

Ronny06 Tenho uma duvida assim particular, desculpe-me. Quero saber, tipo se nos sabemos que sin^2 x + cos^2 x=1, nos numerous complexos, quais sao as relacoes que nos podemos encontrar desse genero? tipo cos^2 Z - sin^2 Z.. ou sin (2z) por ai em diante... pois vejo muito quanto se trata de limites, nos numerous complexos

Lukyo Poderia criar uma nova tarefa com algum exemplo em que tenha dúvida?