Ronny, para provar que uma determinada função f(x, y) é harmônica, basta mostrar que a soma de suas derivadas segundas dão igual a zero, ou seja, a derivada segunda em relação a "x" MAIS a derivada segunda em relação a "y" é igual a zero. Então, dentre as funções dadas, vamos resolver apenas a primeira questão, que é a mais simples. As demais embora dê pra fazer, mas são mais trabalhosas para encontrar suas derivadas segundas. O importante é que você já sabe como demonstrar quando uma função é harmônica, ok? Então vamos trabalhar apenas com a primeira função, que é a do item "a" e que é esta:
f(x, y) = x² + 2x - y²
Agora vamos calcular a derivada primeira e a derivada segunda em relação a "x"; depois calcularemos a derivada primeira e a derivada segunda em relação a "y". Finalmente, somaremos as duas derivadas segundas encontradas e esta soma deverá dar igual a zero, para que a função original dada seja harmônica. Então vamos fazer isto:
i) f(x, y) = x² + 2x - y²
i.1) Encontrando a derivada primeira em relação a "x", teremos:
f'(x)(x, y) = 2x + 2
i.2) Encontrando a derivada segunda em relação a "x", teremos:
f''(x)(x, y) = 2.
i.3) Encontrando a derivada primeira em relação a "y", teremos:
f'(y)(x, y) = - 2y
i.4) Encontrando a derivada segunda em relação a "y", teremos:
f''(y)(x, y) = - 2.
ii) Agora vamos somar as duas derivadas segundas, ou seja, vamos somar isto:
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 2 + (-2) f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 2 - 2 f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 0 <--- Pronto. Como está demonstrado que é igual a zero a soma das duas derivadas segundas encontradas, então é porque a função originalmente dada é harmônica.
É isso aí. Deu pra entender bem?
OK? Adjemir.
3 votes Thanks 2
Ronny06
Muito bom !! Quero saber, se seria possivel provar isso usando o rotacional e a divergencia
Ronny06
Desculpa, se isso E possivel.. ou e mesmo so com a soma das segundas derivadas mesmo da respective funcao? Li em algum sitio que quando o rotacional e a divergencia sao nulos logo e harmonica ! Onde entra tambem alguns conceitos de Operador de Nabla(Hammilton)
Lista de comentários
Verified answer
Vamos lá.Ronny, para provar que uma determinada função f(x, y) é harmônica, basta mostrar que a soma de suas derivadas segundas dão igual a zero, ou seja, a derivada segunda em relação a "x" MAIS a derivada segunda em relação a "y" é igual a zero.
Então, dentre as funções dadas, vamos resolver apenas a primeira questão, que é a mais simples. As demais embora dê pra fazer, mas são mais trabalhosas para encontrar suas derivadas segundas. O importante é que você já sabe como demonstrar quando uma função é harmônica, ok?
Então vamos trabalhar apenas com a primeira função, que é a do item "a" e que é esta:
f(x, y) = x² + 2x - y²
Agora vamos calcular a derivada primeira e a derivada segunda em relação a "x"; depois calcularemos a derivada primeira e a derivada segunda em relação a "y". Finalmente, somaremos as duas derivadas segundas encontradas e esta soma deverá dar igual a zero, para que a função original dada seja harmônica.
Então vamos fazer isto:
i) f(x, y) = x² + 2x - y²
i.1) Encontrando a derivada primeira em relação a "x", teremos:
f'(x)(x, y) = 2x + 2
i.2) Encontrando a derivada segunda em relação a "x", teremos:
f''(x)(x, y) = 2.
i.3) Encontrando a derivada primeira em relação a "y", teremos:
f'(y)(x, y) = - 2y
i.4) Encontrando a derivada segunda em relação a "y", teremos:
f''(y)(x, y) = - 2.
ii) Agora vamos somar as duas derivadas segundas, ou seja, vamos somar isto:
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) ----- fazendo as devidas substituições, teremos:
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 2 + (-2)
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 2 - 2
f''(x)(x, y) + f''(y)(x, y) = 0 <--- Pronto. Como está demonstrado que é igual a zero a soma das duas derivadas segundas encontradas, então é porque a função originalmente dada é harmônica.
É isso aí.
Deu pra entender bem?
OK?
Adjemir.