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Explicação passo-a-passo:

Para que f(z) seja contínua em z=-2, é preciso que os limites laterais da função sejam iguais em -2. Ou seja:

lim f(z) = f(-2)

z → -2⁺

lim f(z) = f(-2)

z → -2⁻

Podemos calcular esses limites utilizando a definição da função:

lim f(z) = lim [8e^(z-2)]

z → -2⁺ z → -2⁻

lim f(z) = 8e^(-4+a)

z → -2⁺

lim f(z) = 8e^(-4+b)

z → -2⁻

Para que esses limites sejam iguais, a e b devem ser iguais a -2. Ou seja, a=b=-2.

Agora, para que f(z) seja derivável em z=-2, é preciso que exista o limite:

lim [f(z) - f(-2)] / (z + 2)

z → -2

Podemos calcular esse limite utilizando a definição da função:

lim [f(z) - f(-2)] = lim [8e^(z-2) - 8e^(-4-a)]

z → -2

lim [f(z) - f(-2)] = lim [8e^(z-2) - 8e^(-4-b)]

z → -2

lim [f(z) - f(-2)] = 8e^(-4)

z → -2

Substituindo na expressão original:

lim [f(z) - f(-2)] / (z + 2) = (8e^(-4)) / (-2 + 2)

lim [f(z) - f(-2)] / (z + 2) = 0

Portanto, f(z) é contínua e derivável em z=-2 se a=b=-2.