Resposta:

Explicação passo a passo:

PG (senx, -sen²x/2, sen³x/4,....)

A razão (q) da PG:

q = (-sen²x/2)/senx = -senx/2

a₁ = senx

A soma de infinitos termos da PG:

S = a₁/(1-q)

S = senx/[1-(-senx/2)]

S = senx/[1+senx/2]

S = senx/[(2+senx)/2]

S = 2senx/(2+senx)

Verified answer

A prova é feita usando a fórmula da soma infinita de uma progressão aritmética.

Soma de uma progressão geométrica infinita

Uma progressão geométrica (PG) é uma sequência de números em que cada número é o anterior multiplicado por uma razão.

Se essa razão for, em módulo, menor que um, existe a soma infinita dessa PG.

Analisando a expressão dada vemos que os elementos para a definição da PG são:

• primeiro termo: a₁ = sen x;
• razão: q =  -1/2 sen x.

Para calcularmos essa soma infinita usa-se a fórmula:

[tex]S = \frac{a_1}{1-q}[/tex]

Fazendo as substituições, temos:

[tex]S = \frac{sen x}{1-(-\frac12 sen x)}\\\\S = \frac{sen x}{1 + \frac12 sen x}\\\\S = \frac{2 sen x}{2 + sen x}[/tex]

Importante lembrar que essa fórmula usada só funciona se a razão for, em módulo, um número menor que 1. Vamos provar isso, a partir do conhecimento de que a função seno é uma função limitada:

-1 ≤ sen x ≤ 1    

Se multiplicarmos todos os termos por um número negativo, os sinais se menor se invertem:

1/2 ≥ -1/2 sen x ≥ -1/2

-1 < -1/2 ≤ -1/2 sen x ≤ 1/2 ≤ 1

Se quiser ver mais exercícios que usam a soma infinita de uma progressão geométrica:

https://brainly.com.br/tarefa/20621158

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#SPJ2